Question

Resolva a derivada de cada uma das funções a seguir:
a) f (x) = x³ + sen5x
b) f (x) = (sen4x)³
c) f (x) = RAIZ DE 2x-1
d) f (x) = 2x . cos x / x² + 4

Answer 1

Vamos relembrar algumas propriedades de derivada.

1) Derivada do monômio

$\fbox{\displaystyle [a.x^n]' = a.n.x^{(n-1)} }$

com $( a \neq 0 )$

2) Regra do produto.

$\fbox{\displaystyle [f.g]' = f'.g+f.g' }$

3) Regra do quociente

$\fbox{\displaystyle [\frac{f}{g}]' = \frac{f'.g-f.g'}{g^2} }$

4)Regra da cadeia

$\fbox{\displaystyle [f(x)]^n = n.[f(x)]^{(n-1)}. f'(x) }$

5) Derivada do Seno e Cosseno

$\fbox{\displaystyle [Sen(u)]' = Cos(u).u' }$

$\fbox{\displaystyle Cos(u) = -Sen(u).u' }$

Sabendo dessas propriedades, vamos para as questões.

item a

$\fbox{\displaystyle f(x) = x^3 + Sen(5x) }$

derivando

$\fbox{\displaystyle f'(x) = [x^3]' + [Sen(5x)]' \to f'(x) = 3x^{(3-1)} + Cos(5x).5.1.x^{(1-1)} }$  

$\fbox{\displaystyle f'(x) = 3x^2 + Cos(5x).5.1.x^0 \to f'(x) = 3x^2 + 5.Cos(5x) }$

item b

$\fbox{\displaystyle f(x) = (Sen(4x))^3 }$

derivando :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = [(Sen(4x))^3]' \to f'(x) = 3.[Sen(4x)]^2.[Sen(4x)]' }$

( Regra da cadeia )

$\fbox{\displaystyle f'(x) = 3.[Sen(4x)]^2.[Sen(4x)]' \to f'(x) = 3.[Sen(4x)]^2.Cos(4x).4 }$

$\fbox{\displaystyle f'(x) = 3.[Sen(4x)]^2.Cos(4x).4 \to f'(x) = 12.Sen(4x)^2.Cos(4x) }$

Ou, sabendo que :

$\displaystyle Sen(2x) = 2.Sen(x).Cos(x)$

então

$\displaystytle sen(8x) = 2.Sen(4x).Cos(4x) \to \displaystyle Sen(4x).Cos(4x) = \frac{Sen(8x)}{2}$

podemos colocar nessa forma, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = 12.Sen(4x).Sen(4x).Cos(4x) \to f'(x) = 12.Sen(4x).\frac{Sen(8x)}{2} }$

$\fbox{\displaystyle f'(x) = 12.Sen(4x).\frac{Sen(8x)}{2} \to f'(x) = 6.Sen(4x).Sen(8x) }$

item C

$\fbox{\displaystyle f(x) = \sqrt{2x-1} }$

vamos reescrever a raiz em forma de potência, só para facilitar :

$\fbox{\displaystyle f(x) = (2x-1)^{\displaystyle \frac{1}{2}} }$

Derivando :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}.(2x-1)^{\displaystyle (\frac{1}{2}-1)}.(2x-1)' }$

Regra da Cadeia

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}.(2x-1)^{(\frac{-1}{2})}.2 \to f'(x) = \frac{1}{2.(2x-1)^{ \frac{1}{2}}}.2 }$

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{(2x-1)}} }$

item d

$\fbox{\displaystyle f(x) = \frac{2x.cos(x) }{x^2+4} }$

derivando :

Cuidado nessa questão. Note que temos uma fração, logo usaremos a regra do quociente.

$\fbox{\displaystyle f'(x) = [\frac{2x.cos(x)}{x^2+4}]' \to f'(x) = \frac{[2x.cos(x)]'.(x^2+4) - [2x.cos(x)].(x^2+4)' }{(x^2+4)^2} }$

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{[2x.cos(x)]'.(x^2+4) - 2x.cos(x).2x }{(x^2+4)^2} }$

Perceba que no numerador temos um produto, logo usaremos a regra do produto.

Vamos derivar aqui e depois só substituir :

$\fbox {\displaystyle [2x.cos(x)]' = (2x)'.cos(x) + 2x.(cos(x))' \to 2.cos(x) + 2x.(-sen(x)) }$

$\fbox {\displaystyle 2.cos(x) + 2x.(-sen(x)) \to 2cos(x) - 2x.sen(x) }$

substituindo :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{[2.cos(x)-2xsen(x)].(x^2+4) - 2x.cos(x).2x }{(x^2+4)^2} }$  

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{[2.cos(x)-2xsen(x)].(x^2+4) - 4x^2.cos(x). }{(x^2+4)^2} }$

Assim já está correto, mas se quiser pode fazer a distributiva. ficando assim :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \frac{2.cos(x).(x^2+4)-2.x.sen(x).(x^2+4) - 4.x^2.cos(x). }{(x^2+4)^2} }$