Question

Resolva:

25y'' - 10y' + y = 0

Sem troll, prfv.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ A solução desta E.D.O. é y(x) = c₁· e^(x/5) + c₂ · e^(x/5) · x.✅

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                                     $\qquad\large\gray{\boxed{\sf\blue{~~25 \cdot \dfrac{d^2}{dx^2}y - 10 \cdot \dfrac{d}{dx}y + y = 0~~}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos inicialmente substituir a variável y desta E.D.O. de segunda ordem por um termo exponencial:

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                                             $\qquad\quad\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf y(x) = e^{\alpha \cdot x}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma vamos analisar nossa E.D.O.:

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$\LARGE\blue{\sf 25 \cdot \dfrac{d^2}{dx^2}e^{\alpha \cdot x} - 10 \cdot \dfrac{d}{dx}e^{\alpha \cdot x} + e^{\alpha \cdot x} = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Lembrando que:

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                                        $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{d}{dx} e^x = \dfrac{d}{dx}x \cdot e^x}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Então:

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$\LARGE\blue{\sf 25 \cdot \alpha^2 \cdot e^{\alpha \cdot x} - 10 \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x} + e^{\alpha \cdot x} = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf e^{\alpha \cdot x} \cdot (25 \cdot \alpha^2 - 10 \cdot \alpha + 1) = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo $\sf e^{\alpha \cdot x}$ ≠ 0 então temos o seguinte polinômio característico:

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$\LARGE\blue{\sf 25 \cdot \alpha^2 - 10 \cdot \alpha + 1 = 0}$

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$\LARGE\blue{\sf (5 \cdot \alpha - 1)^2 = 0}$

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⠀⠀⠀➡️⠀O que nos revela que somente λ = (1/5) satisfaz nossa função. Desta forma temos que uma das soluções é:

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$\LARGE\blue{\text{ \sf y_1 = c_1 \cdot e^{\frac{x}{5}} }}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Nossa segunda solução será semelhante porém multiplicada por x (fica a cargo do leitor demonstrar que esta segunda solução também resulta em 0 quando substituída na equação original):

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$\LARGE\blue{\text{ \sf y_2 = c_2 \cdot e^{\frac{x}{5}} \cdot x }}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma nossa solução final é da forma:

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$\LARGE\blue{\sf y(x) = y_1 + y_2}$

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                             $\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{y(x)}~\pink{=}~\blue{ c_1 \cdot e^{\frac{x}{5}} + c_2 \cdot e^{\frac{x}{5}} \cdot x}~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre E.D.O.s de segunda ordem:

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                                     https://brainly.com.br/tarefa/8346326 ✈  

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$⠀☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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