Question

Resolva"
1< |x+1| < 2x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se a seguinte inequação modular:

1 < |x+1| < 2x

Note que esta inequação não está tão fácil como aquela que resolvemos em uma outra mensagem sua, pois existem incógnitas tanto no termo do meio como no último termo da desigualdade.
Então teremos que desdobrar essa desigualdade em duas, sendo:

i.1) A primeira desigualdade ficará:

1 < |x+1| --- ou, o que é a mesma coisa:
|x+1| > 1 ---- note que se |x| > a, então: x < -a, ou x > a. Logo, teremos:

-1 > x+1 > 1 ---- vamos subtrair "1" de cada membro da desigualdade, ficando:

-1 - 1 > x+1-1 > 1 - 1
- 2 > x > 0

Ora, mas se "x" é menor do que (-2) e maior do que (0). Então, nesta hipótese,teríamos que:

x < -2
 ou
x > 0.

i.2) A segunda desigualdade ficará:

|x+1| < 2x ----- note que |x| < a, então: -a < x < a . Assim, ficaremos:

-2x < x+1 < 2x ---- subtraindo "x" de cada membro da desigualdade, temos:
-2x-x < x+1-x < 2x-x
- 3x < 1 < x ---- ou seja, aqui temos que:

-3x < 1, ou (após multiplicarmos ambos os membros pro "-1"):
3x > -1 ---(note: após multiplicarmos por "-1" o sentido mudou de < para >).
x > -1/3

e

x > 1

Agora note: entre "x" ser maior do que "-1/3" e ser maior do que "1" vai prevalecer a x > 1, pois sendo x > 1 já o será maior do que (-1/3). Assim, nesta hipótese prevalecerá:

x > 1.

i.3) Agora vamos ver o que vale para a primeira desigualdade e para a segunda desigualdade. Para a primeira desigualdade temos que x < -2 ou x > 0; e para a segunda desigualdade, iremos ter x > 1.
Então a resposta vai ser a intersecção entre o que vale para cada uma dessas hipóteses. Vamos marcar o que vale para cada uma com o símbolo /////////. E vamos marcar a intersecção com o símbolo ||||||||.
Assim, fazendo isso, teremos:

|x+1| > 1 ......./ / / / / / / / / / / (-2)___________ (0) / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
|x+1| > 2x..... ___________________________________  (1) / / / / / / / / / / / / /
Intersecção.. ___________________________________(1) | | | | | | | | | | | | |

Veja que a intersecção ficou em x > 1.  Logo, a resposta será apenas esta:

x > 1  ----- Esta é a resposta. Ou seja, na sua expressão original, que era esta:
1 < |x+1| < 2x, a resposta será: x > 1, como acabamos de ver acima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.