Resolução passo a passo de:
x^2 - 6IxI + 5 ≥ 0
PS: O "IxI" corresponde a módulo de x
Soluções para a tarefa
A solução da inequação de segundo grau é dada por: S = {x e IR / -1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 5 ou x ≤ -5}.
Inicialmente, temos a inequação quadrática:
x² - 6.IxI + 5 ≥ 0
Pelas propriedades de módulo, saiba que:
(|x|)² = |x²|
Como x² é sempre maior ou igual a 0, então o módulo é desprezível.
|x²| = x²
Perceba que, a partir disso, podemos reescrever a inequação do segundo grau como:
|x|² - 6|x| + 5 ≥ 0
Agora podemos resolver normalmente. Seja |x| = a, então:
a² - 6a + 5 ≥ 0
Pelo método prático da resolução de equações quadráticas:
Soma das raízes = 6
Produto das raízes = 5
a' = 1 e a'' = 5
Estudando o sinal da função quadrática, temos que ela será ≥ 0 quando "a" for maior igual que 5 ou menor igual que 1. Como a = |x|, então as soluções são dadas nos intervalos:
a ≤ 1 ou a ≥ 5
|x| ≤ 1 ou |x| ≥ 5
-1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 5 ou x ≤ -5
x²-6*|x|+5 ≥ 0
Se x ≥ 0
x²-6x+5 ≥ 0
raízes ==>x'=1 e x''=5
++++++(1)--------------(5)+++++++++++++++
[0,1] U [5,∞)
Se x<0
x²+6x+5 ≥ 0
raízes ==>x'=-5 e x''=-1
++++++++(-5)--------------------------(-1)++++++++
(-∞,-5] U [-1 ,0)
resposta:
[0,1] U [5,∞) U (-∞,-5] U [-1 ,0)
********[0,1] U [-1 ,0) = [-1 , 1]