Question

Resolução passo a passo de equações diferenciais de y'+3y=t+e^-2t

Answer 1

y' + 3y = t + e^-2t

y'(t) + 3 y(t) = t + e^-2t ← (I)

Multiplique ambos membros de (I) por e^3t 

e^3t(y'(t) + 3 y(t)) = e^3t( t + e^-2t)

[e^3t * y'(t) + e^3t * 3 y'(t)] = e^3t( t + e^-2t)

• Note que o primeiro membro é exatamente d/dt[e^3t * y(t)] 

Então fica:

d/dt[e^3t * y(t)] =  e^3t( t + e^t)

Integrando ambos membros em t

∫d/dt[e^3t * y(t)] dt =  ∫e^3t( t + e^t) dt

e^3t * y(t) = ∫t.e^3t dt + ∫e^t dt 

e^3t y(t) = (■) + e^t + C ← (II)

(■)  ∫t.e^3t dt = ? Vamos resolver por partes: ∫udv = uv - ∫vdu

u = t---------> dv = e^3t dt
du = dt ---------> v = ∫e^3t dt = 1/3 e^3t

∫udv = uv - ∫vdu fica:

∫t * e^3t dt = t/3 e^3t - ∫1/3 e^3t dt

∫t * e^3t dt = t/3 e^3t - 1/3 ∫e^3t dt

∫t * e^3t dt = t/3 e^3t - 1/9 e^3t + C 
 
∫t * e^3t dt = e^3t [t/3 - 1/9] + C 

Voltando em II fica: 

e^3t y(t) = e^3t [t/3 - 1/9] + e^t + C1 

y(t) = t [t/3 - 1/9] + e^-2t + C2 

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12/10/2016
Sepauto 
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