Question

Resolução detalhada. Em setembro de 1987, Goiânia foi
palco do maior acidente radioativo ocorrido no
Brasil, quando uma amostrae césio-137, removida de um
aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um
material radioativo é o tempo necessário para que a massa
desse material se reduza a metade. A meia-vida do
césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de
um material radioativo, após t anos, é calculada pela
expressão $M(t) = A.(2,7) ^{kt}$, onde A é a massa inicial e k uma
constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log₁₀2.
Qual o tempo necessário, em anos,
para que uma quantidade de massa do césio-137 se
reduza a 10% da quantidade inicial?

Answer 1

i) A gente tem um dado importantíssimo: o tempo de meia-vida. Isso quer dizer que M(30) = A/2. Usando esse dado e a fórmula de M(t) teremos:

$M(30)=A.(2,7)^{k.30}\Rightarrow \frac{A}{2}=A.(2,7^k)^{30}\Rightarrow \frac12=(2,7^k)^{30} \\ \\ \mathrm{Aplicando \ \log_{10} \ em \ ambos \ os \ membros} \\ \\ \log2^{-1} = \log(2,7^k)^{30}\Rightarrow -1.\log2=30\log(2,7^k)\Rightarrow \log(2,7^k)=\frac{-0,3}{30} \\ \\ \boxed{\log(2,7^k)=-0,01}$

ii) Agora que temos aquele valor podemos calcular o que foi pedido. A questão pede o valor de t tal que M(t) = A/10. Substituindo teremos:

$\frac{A}{10}=A.(2,7^k)^t \Rightarrow 10^{-1}=(2,7^k)^t \\ \\ \mathrm{Aplicando \ de \ novo \ o \ \log_{10}} \\ \\ \log10^{-1}=\log(2,7^k)^t \Rightarrow -1=t.\log(2,7^k) \Rightarrow -1=t(-0,01) \\ \\ \boxed{\boxed{t=100}}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

A partir do enunciado, temos:

I) log 2 = 0,3 ⇔ 2 = 100,3

II) M (30) = A/2

A . (2,7)k.30 = A/2

(2,7)30k = 1/2

(2,7)30k  = 2–1

(2,7)30k  = (100,3)–1

(2,7)30k = 10–0,3

III) M (t) = 0,1. A

A . (2,7)kt= 0,1 . A

(2,7)kt = 0,1

Assim,

(2,7)30kt = (1/10)30

[(2,7)30k]t= 10-30

(10–0,3)t = 10–30

– 0,3 t = – 3,0

t = 100