Question

resoluçao desta integrando por partes$\int\limits {4x.e^2^x}$alguem pode me ajudar?

Answer 1

Olá Maristela.

Resolvendo temos.
primeiro debemos de lembrar que. $\int\limits\ e^{x} \, dx = e^{x} +C$

Com essa condição resolvemos.
$\int\limits4 {x}. e^{x} \, dx$

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Primeiro vamos   chamar .
$\boxed{u=4x} \\ derivando\ temos. \\ \frac{du}{dx} =4 \\ \boxed{du=4dx}$

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Segundo vamos chamar.
$\boxed{dv= e^{2x} .dx} \\ introduzindo\ integral\ a \ toda\ igualdade\ temos. \\ \diagup\!\!\!\!\!\! \int\limits \, \not d\ v = \int\limits { e^{2x} } \, dx \\ v= \int\limits{ e^{2x} } \, dx --\ \textgreater \ fazendo\ [z=2x =\ \textgreater \ \frac{dz}{dx}=2x =\ \textgreater \ dx= \frac{dz}{2} ] \\ substituindo\ fica. \\ v= \int\limits e^{z} \, \frac{dz}{2} --\ \textgreater \ \ sacando\ o\ denominador. \\ \\ v= \frac{1}{2} \int\limits { e^{z} } \, dz --\ \textgreater \ integrando\ temos. \\ \\ v= \frac{1}{2} e^{z} --\ \textgreater \ subtituindo\ [z=2x] \\ \\ \boxed{v= \frac{ e^{2x} }{2}}$

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Sendo a formula por partes temos.

$\int\limits\ u \, dv=u.v- \int\limits\ v .\, du$

Agora vamos substituir na formula cada um dos valores que esta dentro dos quadros, veja.

$\int\limits\ 4x .e^{2x} \, dx =\not4x. \frac{ e^{2x} }{\not2} - \int\limits\ \frac{ e^{2x} }{\not2} \, \not4dx \\ \\ \int\limits\ 4x. e^{2x} \, dx =2x .e^{2x} -2 \int\limits\ e^{2x} \, dx --\ \textgreater \ temos\ [ \int\limits\ e^{2x} \, dx = \frac{ e^{2x} }{2} ]. \\ \\ \int\limits\ 4x. e^{2x} \, dx =2x. e^{2x} -\not2. \frac{ e^{2x} }{\not2} +C \\ \\ \int\limits\ 4x. e^{2x} \, dx =2x e^{2x} - e^{2x}+C  --\ \textgreater \ fatorizando\ [ e^{2x}] \\ \\ \int\limits\ 4x. e^{2x} \, {dx = \boxed{\boxed{e^{2x}(2x-1)+C }}$

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                                   Espero ter ajudado!!