Question

Resolução da integral de (2 senx - 5 cosx)/cosx

Answer 1

$I=\displaystyle\int{\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x-5\cos x}{\cos x}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\left(\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x}{\cos x}-\dfrac{5\cos x}{\cos x} \right )dx}\\ \\ \\ =\int{\left(\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x}{\cos x}-5 \right)dx}\\ \\ \\ =\underbrace{\int{\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\,dx}}_{I_{1}}-\int{5\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a integral $I_{1}:$

$I_{1}=\displaystyle\int{\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\,dx}$


Fazendo a seguinte mudança de variável

$u=\cos x\;\;\Rightarrow\;\;du=-\mathrm{sen\,}x\,dx\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{sen\,}x\,dx=-du$


Substituindo, a integral $I_{1}$ fica

$I_{1}=\displaystyle\int{\dfrac{-2}{u}\,du}\\ \\ \\ =-2\,\mathrm{\ell n}|u|+C_{1}\\ \\ =-2\,\mathrm{\ell n}|\cos x|+C_{1}$


$\bullet\;\;$ Voltando à integral original, em $\mathbf{(i)},$ temos

$I=I_{1}-\displaystyle\int{5\,dx}\\ \\ \\ I=-2\,\mathrm{\ell n}|\cos x|-5x+C$