Question

Resolução da derivada

$( ln(x))^{x}$

Answer 1

${ d \over dx}( ln(x)^x )$

Use a seguinte propriedade e desenvolva:

$a^{log_a(b)} = b$

${ d \over dx}( (e^{ln(ln(x))} )^x ) \\\\ { d \over dx} ( e^{ln(ln(x)) \times x} )$

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Utilize a regra da cadeia:

( f (y) )' = f'( y ).y', com y = x.ln( ln(x) )

${ d \over dy}(e^y) \times { d \over dx} (ln(ln(x))x)$

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Mais regras:

${ d \over dx} e^x = e^x \\\\ (fg)' = f'g + fg'$

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Retomando:

$e^y \times ( { d \over dx}(ln(ln(x))x + ln(ln(x)) { d \over dx}(x) )$

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Utilize a regra da cadeia novamente ( vai ficar grande a conta, recomendo visualizar pelo navegador ):

( f( g ) )' = f'( g ).g', com g = ln(x)

*ps: d/dx (x) = 1

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$e^y \times ( { d \over dg}( ln(g) ) \times { d \over dx}(ln(x))x + ln(ln(x)) \times 1)$

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Outra regra:

• d/dx (ln(x) ) = 1/x

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$e^y \times \left( { 1 \over g } \times { 1 \over \not x} \not x + ln(ln(x)) \right) \\\\ e^y \times \left( { 1 \over g} + ln(ln(x)) \right)$

Aplique as substituições:

$e^{x.ln(ln(x))} \times \left( { 1 \over ln(x)} + ln(ln(x)) \right) \\\\\ e^{ln(ln(x))^x} \times { 1 + ln(x)ln(ln(x)) \over ln(x) } \\\\ ln(x)^x \times { 1 + ln(x)ln(ln(x)) \over ln(x) } \\\\ ln(x)^{x -1 } \times (ln(x)ln(ln(x)) ) \\\\ \boxed{ ln(x)^{x-1} \times ln(x)^x \times ln(ln(x)) }$