Question

- Representa a Figura no Plano cartesiano da Figura ABCD separe em dois Triângulos e depois calcule sua a aréa cujos pontos são: A( -1, 2 ) , B (2,5 0 , C( 4 , 1 ) e D( 2 , -2). me ajuda algúem eu agradeço ?

Answer 1

Vamos lá.

Brendo, estamos entendendo que a questão que você teria acabado de colocar seria esta: Considere a figura ABCD e separe em dois triângulos. Em seguida calcula a sua área, cujos vértices são estes da figura ABCD:

A(-1; 2); B(2; 5); C(4; 1) e D(2; -2).

Bem, faremos o seguinte: calcularemos as distâncias dos segmentos AB, BC, CD e AD, pelo método das distâncias entre dois pontos. Assim, teremos:

i) Distância AB, com os vértices A(-1; 2) e B(2; 5).

(AB)² = (2-(-1))² + (5-2)²
(AB)² = (2+1)² + (5-2)²
(AB)² = (3)+ (3)²
(AB)² = 9 + 9
(AB)² = 18
AB = +-√(18) ---> o que é aproximadamente igual a: "4,24". Assim:
AB = +- 4,24 ---- mas como a medida não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

AB = 4,24 u.m. (aproximadamente). Obs: u.m. = unidades de medida.

ii) Distância BC, com os vértices B(2; 5) e C(4; 1):

(BC)² = (4-2))² + (1-5)²
(BC)² = (2)² + (-4)²
(BC)² = 4 + 16
(BC)² = 20
BC = +-√(20)  ----> o que dá aproximadamente "4,47". Logo:
BC = +- 4,47 ---- ou, tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:
BC = 4,47 u.m.

iii) Distância CD, com os vértices C(4; 1) e D(2; -2).

(CD)² = (2-4)² + (-2-1)²
(CD)² = (-2)² + (-3)³
(CD)² = 4 + 9
(CD)² = 13
CD = +-√(13) ----> o que dá aproximadamente: "3,60". Assim:
CD = +- 3,60 ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:
CD = 3,60 u.m.

iv) Distância AD, com A(-1; 2) e D(2; -2)

(AD)² = (2-(-1))² + (-2-2)²
(AD)² = (2+1)² + (-4)²
(AD)² = (3)² + (-4)²
(AD)² = 9 + 16
(AD)² = 25
AD = +- √(25) --------- como √(25) = 5, teremos:
AD = +- 5 ----- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:
AD = 5 u.m.

v) Agora vamos transformar em dois triângulos. Para isso, ou ligamos os vértices BD ou AC. Vamos tomar o vértice BD, com B(2; 5) e D(2; -2) e vamos calcular a distância BD. Assim:

(BD)² = (2-2)² + (-2-5)²
(BD)² = (0)² + (-7)²
(BD)² = 0 + 49
(BD)² = 49
BD = +-√(49) ------ como √(49) = 7, teremos:
BD = +- 7 ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos:
BD = 7 u.m.

vi) Agora veja que ficamos com dois triângulos: ABD e BCD, cujos segmentos medem::
---> triângulo ABD: AB = 4,24 u.m.; BD = 7 u.m.; AD = 5 u.m.
---> triângulo BCD: BC = 4,47 u.m.; CD = 3,60 u.m.; BD = 7 u.m. 

vii) Como já temos as medidas de cada lado dos triângulos considerados aí em cima, então vamos calcular a área de cada um deles pela fórmula de Herão, que é esta:

A = √[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)].

Na fórmula acima, "A" é a área, "p" é o semiperímetro (é a soma de cada lado dividida por "2"), enquanto "a", "b" e "c" são as medidas de cada um dos lados.
Assim teremos:

vii.a) Para o triângulo ABD:

p = (4,24 + 7 + 5)/2
p = (16,24)/2
p = 8,12 u.m. <---Este é o semiperímetro do triângulo ABD.

Aplicando a fórmula de Herão para calcular a área (A₁) do triângulo ABD, teremos:

A₁ = √[8,12*(8,12-4,24)*(8,12-7)*(8,12-5)]
A₁ = √[8,12*(3,88)*(1,12)*(3,12)]
A₁ = √(110,093) -----> o que dá aproximadamente: 10,49. Logo:
A₁ = 10,49 u.a ------- Observação: u.a. = unidades de área.

vii.b) Para o triângulo BCD, teremos:

p = (4,47 + 3,60 + 7)/2
p = (15,07)/2
p = 7,535 u.m.

Agora vamos encontrar a área (A₂) do triângulo acima pela fórmula de Herão. Assim:

A₂ = √[7,535*(7,535-4,47)*(7,535-3,60)*(7,535-7)
A₂ = √[7,535*(3,065)*(3,935)*(0,535)]
A₂ = √(48,62)
A₂ = 6,97 u.a.

vii.c) Como já temos as áreas dos dois triângulos, então vamos encontrar qual é a área total (A₃) do quadrilátero ABCD.
Para isso, basta que somemos as duas áreas acima (A₁+A₂) e teremos a área total (A₃). Assim, teremos que:

A₃ = A₁ + A₂ ----- substituindo-se A₁ e A₂ por seus valores encontrados acima, teremos:

A₃ = 10,49 +  6,97
A₃ = 17,46 u.a. <--- Esta deverá ser a resposta da área total (APROXIMADA) do quadrilátero formado pelos vértices dados.

Aproveite a oportunidade e veja se o gabarito da questão "bate" com a resposta que demos aí em cima, ou pelo menos se é bem aproximada ao número que encontramos, certo? 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.