Question

Regra de L'Hospital. Qual é o limite?

Answer 1

A regra de L'Hopital é uma regra de grande importância para avaliação de limites que resultam em indeterminações do tipo

$"\dfrac{0}{0}" \hspace{0.4cm} ou \hspace{0.4cm}"\dfrac{\infty}{\infty}"$

Ele se baseia num passo muito esperto. Suponha que queremos descobrir o limite da razão entre duas funções p(x) e q(x),

$\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{p(x)}{q(x)}$

Por hipótese, suponha que p(a)=q(a)=0, portanto,

$\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{p(x)}{q(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{p(x)-p(a)}{q(x)-q(a)}$

Vamos agora multiplicar o limite por um "1" esperto, como

$\lim\dfrac{x-a}{x-a}=1 \hspace{0.5cm} \forall x$

$\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{p(x)-p(a)}{q(x)-q(a)}=\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{p(x)-p(a)}{q(x)-q(a)}\dfrac{x-a}{x-a}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow a} \dfrac{p(x)-p(a)}{x-a} \dfrac{x-a}{q(x)-q(a)}$

Perceba que o limite torna-se o cálculo de 2 derivadas, ou seja,

$\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{p(x)}{q(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{p'(x)}{q'(x)}$

Utilizando este resultado podemos resolver o exercício. Perceba que nossa função é justamente divisão de 0 por 0,

$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{x^2}{x-\sin x}="\dfrac{0}{0}"$

Aplicamos L'Hopital, derivando numerador e denominador,

$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{x^2}{x-\sin x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{2x}{1-\cos x}="\dfrac{0}{0}"$

Aplicamos L'Hopital novamente,

$\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{x^2}{x-\sin x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{2}{\sin x}=\infty$

O limite da função quando x aproxima de 0 à direita é infinito positivo.