Question

Regra de Cramer
Me ajudem, por favor

Answer 1

Após  a realização dos cálculos, podemos concluir mediante ao conhecimento de sistemas lineares que o conjunto solução do referido sistemas de equações é S={(5,-2,3)} o que corresponde a alternativa a✅

Equação linear

Chamamos de equação linear nas incógnitas $\sf x_1.x_2,\dotsc ,x_n$ toda equação do tipo $\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc a_{1n}x_n=b.$ Os números $\sf a_{11},a_{12},a_{13},\dotsc, a_{1n}$ todos reais, são chamados de coeficientes   e b, também  real, é o termo independente da equação .

Exemplos:

• $\sf3x_1+4x_2-5x_3-x_4=5$
• $\sf 2x_1-x_2-x_3=0$

Sistemas lineares

É um conjunto de $\sf m(m\geqslant1)$ equações lineares, nas incógnitas $\sf x_1,x_2,x_3\dotsc, x_n.$ Assim o sistema

$\sf S=\begin{cases}\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc a_{1n}x_n=b_1\\\sf a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dotsc a_{2n}x_n=b_2\\\\\dotsc\,\dotsc\,\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\\sf a_{m_1}x_1+a_{m_2}x_2+a_{m_3}x_3+\dotsc a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ é linear.

Solução de um sistema linear

Dizemos que uma sequência ou ênupla  ordenadas de reais $\sf (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dotsc\alpha_n)$ é solução  de um sistema linear S, se for solução de todas as equações de S.

Método de Cramer

Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas. Se $\sf D\ne0$  então o sistema será  possível e terá solução única

$\sf(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\dotsc, \alpha_n)$ tal que

$\sf \alpha_i=\dfrac{D_i}{D}~\forall\,i\in\{1,2,3,\dotsc\,n\}$ ou seja  desde que o determinante formado pela matriz quadrada dos coeficientes não seja zero,  o sistema terá solução possível.

Expressão matricial de um sistema linear

Considere o sistema linear a seguir:

$\sf S=\begin{cases}\sf a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\dotsc a_{1n}x_n=b_1\\\sf a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\dotsc a_{2n}x_n=b_2\\\sf a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\dotsc a_{3n} x_n=b_3\\\\\dotsc\,\dotsc\,\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\\sf a_{m_1}x_1+a_{m_2}x_2+a_{m_3}x_3+\dotsc a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$

Chama-se expressão matricial de um sistema linear quando escrevemos este sistema como o produto da matriz quadrada dos coeficientes pela matriz coluna das variáveis resultando na matriz coluna dos termos independentes.

portanto o sistema anterior pode ser escrito assim:

$\sf\begin{bmatrix}\sf a_{11}&\sf a_{12}&\sf a_{13}\dotsc a_{1n}\\\sf a_{21}&\sf a_{22}&\sf a_{23}\dotsc a_{2n}\\\sf a_{31}&\sf a_{32}&\sf a_{33}\dotsc a_{3n}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sf x_1\\\sf x_2\\\sf x_3\\\vdots\\\sf x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf b_1\\\sf b_2\\\sf b_3\\\vdots\\\sf b_n\end{bmatrix}$

✍️Vamos a resolução da questão

$\large\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf x+y-z=0\\\sf x-y-2z=1\\\sf x+2y+z=4\end{cases}\end{array}}$

Escrevendo a matriz quadrada dos coeficientes temos:

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf1&\sf1&\sf-1\\\sf1&\sf-1&\sf-2\\\sf1&\sf2&\sf1\end{bmatrix}$

calculemos o determinante da matriz A:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf det\,A=1\cdot(-1+4)-1\cdot(1+2)-1\cdot(2+1)\\\sf det\,A=\diagdown\!\!\!\!3-\diagdown\!\!\!\!3-3\\\sf det\,A=-3\end{array}}$

Vamos obter a matriz $\sf A_x$ trocando a 1ª coluna da matriz dos coeficientes pela coluna da matriz dos termos independentes e calcular o determinante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A_x=\begin{bmatrix}\sf0&\sf1&\sf-1\\\sf1&\sf-1&\sf-2\\\sf4&\sf2&\sf1\end{bmatrix}\\\sf det\,A_x=-1(1+8)-1\cdot(2+4)\\\sf det\,A_x=-9-6\\\sf det\,A_x=-15\end{array}}$

Vamos obter a matriz $\sf A_y$ trocando a 2ª coluna da matriz dos coeficientes pela coluna da matriz dos termos independentes e calcular o determinante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A_y=\begin{bmatrix}\sf1&\sf0&\sf-1\\\sf1&\sf1&\sf-2\\\sf1&\sf4&\sf1\end{bmatrix}\\\sf det\,A_y=1\cdot(1+8)-1\cdot(4-1)\\\sf det\,A_y=9-3\\\sf det\,A_y=6\end{array}}$

Vamos obter a matriz  $\sf A_z$ trocando a 3ª coluna da matriz dos coeficientes pela coluna da matriz dos termos independentes e calcular o determinante:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf A_z=\begin{bmatrix}\sf1&\sf1&\sf0\\\sf1&\sf-1&\sf1\\\sf1&\sf2&\sf4\end{bmatrix}\\\sf det\,A_z=1\cdot(-4-2)-1\cdot(4-1)\\\sf det\,A_z=-6-3\\\sf det\,A_z=-9\end{array}}$

Calculando x ,y e z temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{det\,A_x}{det\,A}=\dfrac{-15}{-3}=5\\\\\sf y=\dfrac{det\,A_y}{det\,A}=\dfrac{6}{-3}=-2\\\\\sf z=\dfrac{det\,A_z}{det\,A}=\dfrac{-9}{-3}=3\end{array}}$

Portanto o conjunto solução é   $\large\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\{(5,-2,3)\}\end{array}}$

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