Question

Regra de Cramer.

A)
X +Y =2
3x+2y=3


B)
X+Y=7
2x-y=2

Answer 1

Aplicado a Regra de Cramer, encontramos que os conjuntos soluções dos sistemas são:

• A) S = (-1, 3)
• B) S = (3, 4)

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é uma técnica utilizada para resolver sistemas de equações.

• Neste método, os valores das variáveis ​​do sistema devem ser calculados usando os determinantes das matrizes.

Para resolver sistemas 2x2 aplicando esta regra, devemos seguir 4 passos:

1. Calcule o determinante "D" da matriz formada pelos coeficientes do sistema.
2. Calcule o determinante Dx. A matriz utilizada será a mesma, porém a primeira coluna deve ser substituída pelos termos independentes.
3. Calcule o determinante Dx. A matriz utilizada será a mesma, porém a segunda coluna deve ser substituída pelos termos independentes.
4. Obtenha os valores de x e y, aplicando as seguintes relações:

$\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}} }}$

Para entender como funciona a Regra de Cramer, observe a resolução do seguinte sistema de equações:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\left\{\begin{matrix}3x+y=3\\3x+4y=30\end{matrix}\right.} }$

A matriz formada pelos coeficientes do sistema será igual a:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix}3 & 1\\ 3 & 4\end{bmatrix}} }$

Agora, devemos seguir os 4 passos.

Passo 1: calcular o determinante D

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix}3 & 1\\ 3 & 4\end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{D = 3~.~4-1~.~3}\\\large\displaystyle\mathsf{D=12-3}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{D=9}}$

Passo 2: calcular o determinante Dx

Substitua a primeira coluna pelos termos independentes (3 e 30).

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix}\red{3} & 1\\ \red{3} & 4\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}\red{3} & 1\\ \red{30} & 4\end{bmatrix}} }$

Calcule o determinante Dx.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix}3 & 1\\ 30 & 4\end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{Dx=3~.~4-1~.~30}\\\large\displaystyle\mathsf{Dx=12-30I}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Dx=-18}}$

Passo 3: calcular o determinante Dy

Substitua a segunda coluna pelos termos independentes (5 e 9).

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} 3& \red{1}\\3 & \red{4}\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}3 & \red{3}\\3 & \red{30}\end{bmatrix}} }$

Calcule o determinante Dy.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix}3 & 3\\ 3 & 30\end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{Dy=3~.~30-3~.~3}\\\large\displaystyle\mathsf{Dy=90-9}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Dy=81}}$

Passo 4: Obter os valores de x e y

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{-18}{9},~y=\dfrac{81}{9}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{x=-2,~y=9}}$

Veja que encontramos o conjunto solução do sistema: S = (-2, 9).

Resolução dos exercícios

Devemos aplicar a Regra de Cramer nos itens A e B.

Item A

Passo 1: calcular o determinante D.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{D=1~.~2-1~.~3}\\\large\displaystyle\mathsf{D=2-3}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{D=-1}}$

Passo 2: calcular o determinante Dx.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} \red{1} & 1\\ \red{3} & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \red{2} & 1\\ \red{3} & 2 \end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{Dx=2~.~2-3~.~1}\\\large\displaystyle\mathsf{Dx=4-3}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Dx=1}}$

Passo 3: calcular o determinante Dy.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} 1 & \red{1}\\ 3 & \red{2} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \red{2}\\ 3 & \red{3}\end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{Dy=1~.~3-2~.~3}\\\large\displaystyle\mathsf{Dy=3-6}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Dy=-3}}$

Passo 4: obtenha os valores de x e y.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{1}{-1},~y=\dfrac{-3}{-1}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{x=-1,~y=3}}$

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

$\boxed{\boxed{\large\displaystyle\mathsf{S=(-1,3)}}}$

Item B

Passo 1: calcular o determinante D.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1 \end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{D=1~.~(-1)-1~.~2}\\\large\displaystyle\mathsf{D=-1-2}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{D=-3}}$

Passo 2: calcular o determinante Dx.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} \red{1} & 1\\ \red{2} & -1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \red{7} & 1\\ \red{2} & -1 \end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{Dx=7~.~(-1)-1~.~2}\\\large\displaystyle\mathsf{Dx=-7-2}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Dx=-9}}$

Passo 3: calcular o determinante Dy.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\begin{bmatrix} 1 & \red{1}\\ 2 & \red{-1} \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \red{7}\\ 2 & \red{2}\end{bmatrix}} }\\\\\\\large\displaystyle\mathsf{Dy=1~.~2-7~.~2}\\\large\displaystyle\mathsf{Dy=2-14}\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Dy=-12}}$

Passo 4: obtenha os valores de x e y.

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{Dx}{D},~y=\dfrac{Dy}{D}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{x=\dfrac{-9}{-3},~y=\dfrac{-12}{-3}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\mathsf{x=3,~y=4}}$

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

$\boxed{\boxed{\large\displaystyle\mathsf{S=(3,4)}}}$

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

Veja mais sobre a Regra de Cramer em:

https://brainly.com.br/tarefa/20558212

https://brainly.com.br/tarefa/40375669