Referente a uma função quadrática y = ax^2 + bx + c, que tem o conjunto dos números reais como domínio, assinale a alternativa correta:
O valor do número 'a' pode ser zero.
O gráfico da função pode ser uma reta.
O gráfico da função é uma parábola cuja concavidade é determinada pelo sinal do número 'b'.
Se a concavidade da parábola que a função determina é para baixo, a função tem um valor mínimo.
Se a concavidade da parábola que a função determina é para baixo, a função tem um valor máximo.
Questão 2: Referente a uma função quadrática y = ax2+bx+c, que tem o conjunto dos números reais como domínio, e o vértice da parábola que a função quadrática determina, assinale a alternativa correta:
Se a concavidade é para cima, no ‘x do vértice’ a função assume o seu valor máximo.
Se a concavidade é para baixo, no ‘x do vértice’ a função assume o seu valor mínimo.
Se a concavidade é para cima, a esquerda do ‘x do vértice’ a função é crescente e a direita é decrescente.
Conhecendo APENAS o valor do ‘y do vértice’ (sem conhecer os valores dos coeficientes ‘a’, ‘b’ e ‘c’) e conhecendo para onde aponta a concavidade da parábola, é possível determinar o conjunto imagem da função.
Conhecendo APENAS o valor do ‘x do vértice’ (sem conhecer os valores dos coeficientes ‘a’, ‘b’ e ‘c’) e não conhecendo para onde aponta a concavidade da parábola, é possível determinar os intervalos em que a função é crescente e decrescente.
Questão 3: A respeito de equação e inequação polinomial do 2º grau, assinale a alternativa correta:
O conjunto solução de uma inequação polinomial do 2º grau não pode ser o conjunto vazio.
O conjunto solução de uma equação polinomial do 2º grau pode ter infinitos elementos.
Podemos identificar os pontos de interseção (se existirem) entre o gráfico de uma função afim (que é uma reta) e o gráfico de uma função quadrática (que é uma parábola) resolvendo uma equação polinomial do 2º grau.
Para identificar os pontos de interseção entre os gráficos de duas funções quadráticas, basta resolver uma equação polinomial do 1º grau.
Não existe interpretação geométrica para uma equação ou uma inequação polinomial do 2º grau.
Questão 4: Considere a função quadrática, com domínio no conjunto dos números reais, f(x) = y = -x^2 - x + 6.
a) Encontre o vértice da parábola, que é o gráfico da função f.
b) Determine para onde a concavidade da parábola aponta.
c) Determine o conjunto imagem da função f.
d) Determine os intervalos em que a função f é crescente e que é decrescente.
e) Verifique se a função f intersecta a função g(x) = x^2, apresentando os pontos de interseção, se existirem.
( Obs: as 3 primeiras questões são de alternativa, somente a questão 4 que tem que resolver letra por letra )
ME AJUDEM POR FAVOR!!!!
Soluções para a tarefa
As respostas serão dadas da seguinte forma:
- Questão 1: Para se ter o valor máximo a concavidade deve ser voltada para baixo. Letra e.
- Questão 2: A alternativa correta é a letra d. Conhecendo apenas o Yv, e para onde a concavidade é voltada, é possível determinar o conjunto imagem da função.
- Questão 3: Para identificar os pontos de interseção entre o gráfico de uma função afime o gráfico de uma função quadrática, igualaremos as duas funções, se tornando uma função de 2° grau. Letra c.
- Questão 4: O ponto de intesecção ocorre quando x' = -2 e x" = 3/2. Nos pontos (-2, 4) e (3/2, 9/4).
a) O vértice da parábola será (1/2, 25/4).
b) Como o a é negativo a concavidade é voltada para baixo.
c) A imagem da função é dada por: Im = {y ∈ R | y ≤ 25/4}.
d) O estudo de sinais é feito da seguinte forma:
y < 0: x < –3 ou x > 2
y > 0: – 3 < x < 2
y = 0: x = –3 e x = 2
e) O ponto de intesecção ocorre quando x' = -2 e x" = 3/2. Nos pontos (-2, 4) e (3/2, 9/4).
Equações de 2° Grau
A equação de 2° grau é dada pela seguinte forma:
y = ax² + bx + c
onde a tem que ser diferente de zero, podemos estudá-la da seguinte forma:
- a > 0: a concavidade da paábola é para cima;
- a < 0: a concavidade da parábola é para baixo.
Aplicando aos exercícios
Aplicando o que foi visto anteriormente:
Questão 1:
Analisando afirmação por afirmação:
a) Caso a seja zero, a equação se transforma em uma função de 1° grau. Falso.
b) O gráfico da função de 2° grau deve ser necessariamente uma parábola. Falso.
c) A concavidade é determinada pelo sinal do número de a.
d) Para ter valor mínimo, a concavidade deve ser voltada para cima.
e) Verdadeiro.
Para se ter o valor máximo a concavidade deve ser voltada para baixo. Letra e.
Questão 2:
Tem-se que:
- Para se ter o ponto mínimo a concavidade deve ser voltada para cima.
- Para se ter o ponto máximo a concavidade deve ser voltada para baixo.
Sabendo que:
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a
A alternativa correta é a letra d. Conhecendo apenas o Yv, e para onde a concavidade é voltada, é possível determinar o conjunto imagem da função.
Questão 3:
Analisando afirmação por afirmação:
a) O conjunto solução pode ser o conjunto vazio. Falso.
b) O conjunto solução de uma equação polinomial do 2º grau pode ter até 2 elementos.
c) Verdadeira. Pois igualaremos as duas funções, se tornando uma função de 2° grau.
d) Falso. Irá ser resolvido uma equação de 2° grau.
e) Falso. Existe interpretação geométrica para uma equação ou uma inequação polinomial do 2º grau.
Para identificar os pontos de interseção entre o gráfico de uma função afime o gráfico de uma função quadrática, igualaremos as duas funções, se tornando uma função de 2° grau. Letra c.
Questão 4:
Dada a equação:
y = -x² - x + 6
a) Os vértices são dados:
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a
Calculando o delta:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4(-1)(6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Logo:
Xv = -(-1)/2(-1)
Xv = 1/2
Yv = -Δ/4a
Yv = -25/4(-1)
Yv = 25/4
O vértice da parábola será (1/2, 25/4).
b) Como o a é negativo a concavidade é voltada para baixo.
c) Sabendo que o Yv é igual a 25/4 e a concavidade é voltada para baixo. A imagem da função é dada por: Im = {y ∈ R | y ≤ 25/4}.
d) Achando as raízes:
y = -x² - x + 6
Δ = 25
x' = (-b + √Δ)/2a
x' = (1 + 5)/(-2)
x' = -3
x" = (-b - √Δ)/2a
x" = (1 - 5)/(-2)
x" = 2
O estudo de sinais é feito da seguinte forma:
- y < 0: x < –3 ou x > 2
- y > 0: – 3 < x < 2
- y = 0: x = –3 e x = 2
e) Para verificar a intersecção faremos da seguinte forma:
-x² - x + 6 = x²
-x² - x² - x + 6 = 0
- 2x² - x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4(-2)(6)
Δ = 1 + 48
Δ = 49
x' = (-b + √Δ)/2a
x' = (1 + 7)/(-4)
x' = -2
x" = (-b - √Δ)/2a
x" = (1 - 7)/(-4)
x" = -6/-4 = 3/2
Intersecções:
f(x) = -x² - x + 6
f(-2) = 4
f(3/2) = 9/4
g(x) = x²
g(-2) = 4
g(3/2) = 9/4
O ponto de intesecção ocorre quando x' = -2 e x" = 3/2. Nos pontos (-2, 4) e (3/2, 9/4).
Entenda mais sobre Equações de 2° Grau aqui: https://brainly.com.br/tarefa/9847148
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