Question

- Reescreva os radicais de forma que os três apresentem o mesmo índice.​

Answer 1

Resposta:

 $\sqrt[12]{3^{6} }$  $\sqrt[12]{5^{4} }$  $\sqrt[12]{2^{3} }$

Explicação passo-a-passo:

as raízes apresentadas correspondem respectivamente as expressões:

$3^{\frac{1}{2} }$  $5^\frac{1}{3} }$  $2^{\frac{1}{4} }$

Portanto, como os denominadores das frações acima representam os índices, aplica-se uma igualização por meio do mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4 = 12. Sendo assim:

$\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{6}{12}$       $\frac{1}{3}$ ⇒ $\frac{4}{12}$      $\frac{1}{4}$ ⇒ $\frac{3}{12}$    Ex.:  $\frac{12 / denominador + numerador}{12}$

Por fim temos:

$3^{\frac{6}{12} }$  $5^{\frac{4}{12} }$  $2^{\frac{3}{12} }$

que representam:

$\sqrt[12]{3^{6}}$  $\sqrt[12]{5^{4} }$  $\sqrt[12]{2^{3} }$

Answer 2

Resposta:

$3^{\frac{6}{12} }$ = $\sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

$5^{\frac{4}{12} }$ = $\sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$2^{\frac{3}{12} }$ = $\sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{8}$

Explicação passo-a-passo:

O índice é basicamente o número externo da raiz. Perceba que a raiz de 3, apesar de não aparecer, apresenta índice 2, a raiz de 5 apresenta índice 3 e a raiz de 2, índice 4.

Perceba que você tem que achar um múltiplo comum entre 2, 3 e 4, que são os índices. Note também que o 3, dentro da raiz, está elevado a 1, assim como o 5 e o 2 nas outras raízes. O mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4 é o 12. Sendo assim, você vai ter que exer nessas raízes de tal forma que elas fiquem com índice 12.

Muito bem. Tendo esse pensamento, vamos para outra ideia.

Como foi dito antes, o 3 está elevado a 1. Se fôssemos tirar essa raiz dele, poderíamos escrevê-lo simplesmente como $3^{\frac{1}{2} }$, pois isso é a mesma coisa que $\sqrt{3}$. De onde saiu esse 1/2 ? O 1 veio do número ao qual o 3 está elevado e o 2 é o índice da raiz.

Seguindo essa lógica, e sabendo que o 5 e o 2 das outras raízes também estão elevados a 1, poderíamos reescrevê-los como $5^{\frac{1}{3} }$ e $2^{\frac{1}{4} }$ .

Lembre-se do que foi dito: o índice deve ser igual a 12. Se em $3^{\frac{1}{2} }$, $5^{\frac{1}{3} }$ e $2^{\frac{1}{4} }$ , o denominador das potências representa o índice, devemos multiplicar esses denominadores de forma que eles passem a ser 12. Entretanto, não se pode esquecer que, ao multiplicar o denominador, o numerador também deve ser multiplicado. Assim:

$3^{\frac{1}{2} }$ = $3^{\frac{6}{12} }$

$5^{\frac{1}{3} }$ = $5^{\frac{4}{12} }$

$2^{\frac{1}{4} }$ = $2^{\frac{3}{12} }$

Agora, revertendo todos eles para raízes:

$3^{\frac{6}{12} }$ = $\sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$

$5^{\frac{4}{12} }$ = $\sqrt[12]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$2^{\frac{3}{12} }$ = $\sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{8}$

Espero ter ajudado. Quaisquer dúvidas, deixe abaixo nos comentários. Abraço!