Question

Reescreva essa equação cônica no formato padrão: -9x²+16y²-18x+128y+391=0

Answer 1

A forma padrão da equação cônica dada é

$\dfrac{(x+1)^2}{16}+\dfrac{-16(y+4)^2}{9}=1$

Seja a equação dada:

-9x² + 16y² -18x + 128y + 391 = 0

Usado a comutatividade e associatividade da soma, vamos reagrupar os termos de forma a jumntar "x" com "x" e "y" com "y":

(-9x² -18x) + (16y² + 128y) + 391 = 0

Utilizamos fator comum em evidencia para evidenciar os números que multiplicam x² e y²:

-9(x²+2x) + 16(y²+8y) + 391 = 0

Agora usamos a técnica de completar quadrados para simplificar a equação acima.

Primeiro, note que a partir das expressões dentro dos parênteses, podemos "adivinhar" qual número precisaria adicionar para que cada expressão pudesse ser um quadrado perfeito

(x+1)² = x² + 2x + 1 ------> x² + 2x = (x+1)² - 1

(y+4)² = y² + 8y + 16 ---> y² + 8y = (y+4)² - 16

Isto significa que completamos o quadrado perfeito

Agora vamos substituir o quadrado perfeito na equação original:

-9  (x²+2x)    + 16  (y²+8y)      + 391 = 0

-9 [ (x+1)² -1 ] + 16[ (y+4)² - 16] + 391 = 0

Resta agora apenas simplificar a equação dada ao juntar todos os números em uma única parcela:

-9(x+1)² + 9  + 16(y+4)² - 256 + 391 = 0

-9(x+1)²        + 16(y+4)²           + 144 = 0

-9(x+1)²        + 16(y+4)²                     = - 144

O último passo é escrever na forma canônica $\frac{x^2}{a}\pm\frac{y^2}{b}=1$

$\dfrac{-9(x+1)^2}{-144}+\dfrac{16(y+4)^2}{-144}=1$

$\dfrac{(x+1)^2}{16}+\dfrac{-16(y+4)^2}{9}=1$