Question

Reescreva, completando o quadrado?
a) x² +x +1
b) 2x² -12x +11

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Reescreva, completando o quadrado?

a) x² +x +1

x² + x + 1 - 7 = 0

fica

x² + x - 6 = 0

(x + 3)(x - 2) = 0

b)

2x² -12x +11 + 7 = 0

fica

2x² - 12x + 18 = 0

2(x² - 6x + 9) = 0

2(x - 3)(x - 3) = 0

2(x - 3)² = 0

Answer 2

a) x² +x +1

Vamos dividir o b por 2, ou seja, 1/2 para encontrarmos o número que elevaremos ao quadrado nos dois lados da igualdade.

Toda equação do segundo grau é escrita como ax²+2.a.x + c

Note que na equação dada na letra a) todos os coeficientes são 1

a= 1

b=1

c=1

Logo temos

1x²+1x+1 =

O termo que corresponde a c iremos passar para o lado direito, depois do sinal de igual e o somaremos com o quadrado que iremos encontrar ao dividir b por 2 e elevaremos a resposta ao quadrado.

Então ficará:

$1x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2}x = -1 + (\frac{1}{2} )^{2}$

O coeficiente do x² como é 1 não precisamos escrever, também não precisamos colocar o x que acompanha b, logo ficará:

$x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = -1 + (\frac{1}{2} )^{2}$

Resolvendo a equação encontrada teremos:

$x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = -1 + (\frac{1}{2} )^{2}\\\\x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} =-1 + \frac{1}{4} \\\\x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = \frac{-4+1}{4} \\\\x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = \frac{-3}{4}$

Agora iremos colocar os dois termos elevados ao quadrado antes do sinal de igual juntos e passar o -3/4 para o lado esquerdo, encontrando então a resposta final.

$x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = \frac{-3}{4}\\\\(x+\frac{1}{2} )^{2} +\frac{3}{4}$Resposta final

Verificando se realmente completamos o quadrado para o x.

Iremos resolver a equação encontrada e ver se ela volta a ser escrita como x²+x+1

Vejamos:

$(x+\frac{1}{2} )^{2} +\frac{3}{4} \\\\x^{2} + 2.x.\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} )^{2} + \frac{3}{4} =\\\\x^{2} +\frac{2}{2} x+\frac{1}{4} +\frac{3}{4} =\\\\x^{2} +1x + \frac{4}{4} =\\\\x^{2} +1x +1$Portanto a resposta  $(x+\frac{1}{2} )^{2} +\frac{3}{4}$ é verdadeira

b) 2x² -12x +11

Note que nesta questão o coeficiente de a é 2, então para facilitar iremos eliminar este coeficiente utilizando um macete, um esquema, iremos dividir b e c pelo coeficiente de a, que é o 2, se fosse 3, iríamos dividir por 3, se fosse 4 por 4 e assim, sucessivamente.

Vejamos

a=2

b=-12

c=11

Então ficará:

$2x^{2} -12x+11 =\\\\x^{2} -\frac{12}{2}x +\frac{11}{2} =$agora iremos resolver essas divisões e passar o 11/2 para lá

$x^{2} -6x = -\frac{11}{2}$  Vamos dividir o b por 2, ou seja 6/2  para encontrarmos o número que elevaremos ao quadrado nos dois lados da igualdade, não precisa escrever o x que acompanha b.

$x^{2} -\frac{6}{2} = -\frac{11}{2} \\\\x^{2} (-3)^{2} = -\frac{11}{2} + (-3)^{2}\\\\x^{2} (-3)^{2} = -\frac{11}{2} + 9\\\\x^{2} (-3)^{2} = \frac{-11+18}{2} \\\\x^{2} (-3)^{2} = \frac{7}{2}$ Agora iremos colocar os dois termos elevados ao quadrado antes do sinal de igual juntos.

$(x+3)^{2} = \frac{7}{2}$ Agora vamos passar o 2 que divide o 7 para o lado esquerdo, ao fazermos isto, ele passará multiplicando. Vejamos:

$2(x+3)^{2} = 7$ agora iremos passar o 7 para o lado esquerdo.

$2(x+3)^{2} - 7 =$ Resposta final

Verificando a equação que encontramos.

$2(x-3)^{2} -7=\\\\2(x^{2} -2.x.3+3^{2} )-7 =\\\\2(x^{2} -6x+9)-7=\\\\2x^{2} -12x+18-7 =\\\\2x^{2} -12x+11$

Note que ao escrevermos a conta para VERIFICARMOS, tivemos que colocar x-3 e não x+3, isto se deve ao fato de termos -12x + 11, se colocarmos  x+3, teremos +12x+11, o que estaria ERRADO.

Para você entender cada conta toda junta, de uma vez só, vou colocar aqui sem explicação.

a)

x²+x+1 =

x²+x = -1

$x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = -1 + (\frac{1}{2} )^{2}\\\\x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} =-1 + \frac{1}{4} \\\\x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = \frac{-4+1}{4} \\\\x^{2} + (\frac{1}{2} )^{2} = \frac{-3}{4}\\\\(x+\frac{1}{2} )^{2} +\frac{3}{4}$

b)

2x²-12x +11 =

2x² -12 = -11

$x^{2} -\frac{12}{2}x = -\frac{11}{2} \\\\x^{2} -6x=-\frac{11}{2} \\\\\x^{2} -\frac{6}{2} x = -\frac{11}{2} \\\\x^{2} + (-3)^{2} = -\frac{11}{2} + (-3)^{2} \\\\x^{2} + (-3)^{2} = \frac{-11+18}{2} \\\\x^{2} + (-3)^{2} = \frac{7}{2} \\\\(x+3)^{2} = \frac{7}{2} \\\\2(x+3)^{2} -7 =$