Question

Reduza o número complexo
$z = - 1 + 2i$
à forma polar (ou forma trigonométrica)​

Answer 1

Temos os seguinte número complexo em sua forma algébrica:

$\ast \: \sf z = - 1 + 2i$

• Sabemos que um número complexo é formado por uma parte real e uma parte imaginária, sendo a parte real o número sem a letra "i" e a parte imaginária o número que contém a letra "i".

De acordo com o número que a questão fornece, possuímos de parte real e imaginária, os seguintes valores:

$\sf z = - 1 + 2i \rightarrow \begin{cases} \sf a = - 1 \\ \sf b = 2\end{cases}$

Tendo encontrado os valores de "a" e "b", vamos partir para o cálculo do módulo desse número complexo.

• Módulo:

Esse cálculo é dado por uma relação pitagórica:

$\sf \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{( - 1) {}^{2} +(2) {}^{2} } \\ \sf \rho = \sqrt{1 + 4} \\ \sf \rho = \sqrt{5}$

Tendo encontrado o módulo, vamos partir para o cálculo do argumento.

• Argumento:

Argumento é o ângulo em relação ao eixo "x", e tal ângulo pode ser encontrado através das relações trigonométricas seno e cosseno.

$\sf sen \theta = \frac{b}{ \rho} \: \: e \: \: cos \theta = \frac{a}{ \rho}$

Substituindo os dados:

$\sf sen \theta = \frac{2}{ \sqrt{5} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } . \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } = \frac{2 \sqrt{5} }{5} \\ \\ \sf cos \theta = \frac{ - 1}{ \sqrt{5} } = \frac{ - 1}{ \sqrt{5} } . \frac{ \sqrt{5} }{ \sqrt{5} } = - \frac{ \sqrt{5} }{5}$

Será bem impossível encontrar esse ângulo, então vamos desenhar o plano de Argand-Gauss e colocar os valores de "a", "b" e o módulo "p". (O desenho está anexado na resposta). O ângulo a partir dos catetos pode ser encontrado através das relações trigonométricas arcoseno, arcosseno e arcotangente, usarei o arcotangente para encontrar o ângulo.

$\theta = \sf arctan \left( \frac{2}{ - 1} \right) \\ \sf \sf \theta = arctan( - 2) \\ \boxed{ \sf \theta \approx - 63,43 494882}$

Não é normal usarmos o ângulo negativo na fórmula polar, portanto usaremos o seu complemento:

$\sf \theta = 180 - 63,43494882 \\ \boxed{\sf \theta = 116,5650511 {}^{ \circ} }$

Portanto esse será o ângulo que vamos substituir na forma trigonométrica:

$\sf z = \rho.(cos \theta + isen \theta) \\ \boxed{ \sf z = \sqrt{5} .(cos(116,5650511 {}^{ \circ} ) + isen(116,5650511 {}^{ \circ} )}$

Espero ter ajudado