Question

reduza estás expressões a um único radical e simplefique- as se possível​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para reduzir a um único radical, multiplique os índices dos radicais.

$a)$  $\sqrt{\sqrt{10}}$

    nos dois radicais, os índices valem 2, então

        $\sqrt{\sqrt{10}}=\sqrt[2.2]{10}=\sqrt[4]{10}$

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$b)$  $\sqrt[3]{\sqrt{3}}$

    no primeiro radical o índice é 3 e no segundo radical, o índice é

    2, então

        $\sqrt[3]{\sqrt{3}}=\sqrt[3.2]{3}=\sqrt[6]{3}$

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$c)$  $\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}$

    nos três radicais, os índices valem 2, então

        $\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=\sqrt[2.2.2]{2}=\sqrt[8]{2}$

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$d)$  $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{3}}}$

    nos dois primeiros radicais, os índices valem 3 e no terceiro

    radical o índice vale 2, então

         $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt{3}}}=\sqrt[3.3.2]{3}=\sqrt[18]{3}$

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$e)$  $\sqrt[6]{\sqrt{5^{3}}}$

    no primeiro radical, o índice vale 6 e no segundo radical, o

    índice vale 2, então

         $\sqrt[6]{\sqrt{5^{3}}}=\sqrt[6.2]{5^{3}}=\sqrt[12]{5^{3}}$

    agora vamos simplificar o índice do radical e o expoente da

    potência, dividindo tudo por 3

         $\sqrt[12]{5^{3}}=\sqrt[12:3]{5^{3:3}}=\sqrt[4]{5^{1}}=\sqrt[4]{5}$

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$f)$  $\sqrt[3]{2\sqrt{2^{4}}}$

    aqui, temos que colocar primeiro o 2 do $\sqrt[3]{2}$ dentro do radical

    $\sqrt{2^{4}}$. Para isso, temos que colocar o expoente nesse 2, que será

    o índice do $\sqrt{2^{4}}$, que é o 2. Ficará assim:  2  →  2²

         $\sqrt[3]{2\sqrt{2^{4}}}=\sqrt[3]{\sqrt{2^{4}.2^{2}}}=\sqrt[3]{\sqrt{2^{4+2}}}=\sqrt[3]{\sqrt{2^{6}}}$

    no primeiro radical, o índice vale 3 e no segundo radical, o índice

    vale 2, então

         $\sqrt[3]{\sqrt{2^{6}}}=\sqrt[3.2]{2^{6}}=\sqrt[6]{2^{6}}$

    agora vamos simplificar o índice do radical e o expoente da

    potência. Como o índice do radical vale 6 e o expoente da

    potência vale 6, basta tirar o 2 de dentro do radical

         $\sqrt[6]{2^{6}}=2$

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$g)$  $\sqrt{\sqrt{15^{4}}}$

    nos dois radicais, os índices valem 2, então

         $\sqrt{\sqrt{15^{4}}}=\sqrt[2.2]{15^{4}}=\sqrt[4]{15^{4}}$

    agora vamos simplificar o índice do radical e o expoente da

    potência. Como o índice do radical vale 4 e o expoente da

    potência vale 4, basta tirar o 15 de dentro do radical

         $\sqrt[4]{15^{4}}=15$

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$h)$  $\sqrt[4]{3\sqrt{5}}$

    aqui, temos que colocar primeiro o 3 do $\sqrt[4]{3}$ dentro do radical

    $\sqrt{{5}}$. Para isso, temos que colocar o expoente nesse 3, que será

    o índice do $\sqrt{{5}}$, que é o 2. Ficará assim:  3  →  3²

         $\sqrt[4]{3\sqrt{5}}=\sqrt[4]{\sqrt{5.3^{2}}}$

    no primeiro radical, o índice vale 4 e no segundo radical, o índice

    vale 2, então

         $\sqrt[4]{\sqrt{5.3^{2}}}=\sqrt[4.2]{5.3^{2}}=\sqrt[8]{5.3^{2}}$

    podemos simplificar o índice 8 do radical com o expoente 2 da

    potência 3².

    Para fazermos isso, temos que isolar os termos do produto em

    um só radical para cada um

         $\sqrt[8]{5.3^{2}}=\sqrt[8]{5}.\sqrt[8]{3^{2}}$

    agora vamos simplificar o $\sqrt[8]{3^{2}}$. Divida o índice do radical e o

    expoente da potência por 2

         $\sqrt[8]{5}.\sqrt[8]{3^{2}}=\sqrt[8]{5}.\sqrt[8:2]{3^{2:2}}=\sqrt[8]{5}.\sqrt[4]{3^{1}}=\sqrt[8]{5}.\sqrt[4]{3}$