Question

reduza ao mesmo índice cada conjunto de radicais a seguir .

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Answer 1

Você precisa tirar o MMC entre os índices, depois dividir com os índices anteriores, o resultado você multiplica com os expoentes do radicando.

Answer 2

Reduzindo ao mesmo índice cada conjunto de radicais:

 (a) $\sqrt[6]{4}$ e $\sqrt[6]{27}$

 (b) $\sqrt[21]{a^9}$ e $\sqrt[21]{b^{14}}$

 (c) $\sqrt[20]{3^8}$ e $\sqrt[20]{3^{15}}$

 (d) $\sqrt[42]{2^{15}}$ e $\sqrt[42]{2^{18}}$

 (e) $\sqrt[30]{3^6}$, $\sqrt[30]{2^5}$ e $\sqrt[30]{2^8}$

 (f) $\sqrt[10]{3^8}$, $\sqrt[10]{6}$ e $\sqrt[10]{2^5}$

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A radiciação e a potenciação constituem duas operações básicas envolvendo os números reais além das quatro básicas conhecidas desde as séries iniciais (adição, subtração, multiplicação e divisão) na trajetória estudantil.

Enquanto que a soma está relacionada à subtração e a multiplicação à divisão, a potenciação e radiciação são também tidas como operações inversas e compartilham propriedades que as relacionam. A que nos ajuda com a questão apresentada, diz o seguinte:

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n} }$

Desse modo, para cada conjunto de radicais apresentado, podemos reduzir ao mesmo índice encontrando frações que tenham o mesmo denominador usando as ideias de frações equivalentes.

Dessa forma,

(a)

    $\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2^1}=2^{\frac{1}{3} }$  

    $\sqrt{3}=\sqrt[2]{3^1}=3^{\frac{1}{2} }$

Achando agora uma fração equivalente a 1/3 e 1/2 de mesmo denominador:

   $\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2^1}=2^{\frac{1}{3} }=2^\frac{2}{6}$

   $3^{\frac{1}{2} }=3^{\frac{3}{6} }$

Trazendo de volta:

  $\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2^1}=2^{\frac{1}{3} }= \sqrt[6]{2^2}= \sqrt[6]{4}$

  $\sqrt{3}=\sqrt[2]{3^1}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[6]{27}$

$\dotfill$

(b)

    $\sqrt[7]{a^3}=a^{\frac{3}{7} }$  

    $\sqrt[3]{b^2}=b^{\frac{2}{3} }$

Achando agora uma fração equivalente a 3/7 e 2/3 de mesmo denominador:

   $\sqrt[7]{a^3}=a^{\frac{3}{7} }=a^{\frac{9}{21} }$

   $\sqrt[3]{b^2}=b^{\frac{2}{3} }=b^{\frac{14}{21} }$

Trazendo de volta:

  $\sqrt[7]{a^3}=a^{\frac{3}{7} }=a^{\frac{9}{21} }=\sqrt[21]{a^9}$

  $\sqrt[3]{b^2}=b^{\frac{2}{3} }=b^{\frac{14}{21} }=\sqrt[21]{b^{14}}$

$\dotfill$

(c)

    $\sqrt[5]{3^2}=3^{\frac{2}{5} }$  

    $\sqrt[4]{3^3}=3^{\frac{3}{4} }$

Achando agora uma fração equivalente a 2/5 e 3/4 de mesmo denominador:

   $\sqrt[5]{3^2}=3^{\frac{2}{5} }=3^{\frac{8}{20} }$

   $\sqrt[4]{3^3}=3^{\frac{3}{4} }=3^{\frac{15}{20} }$

Trazendo de volta:

  $\sqrt[5]{3^2}=3^{\frac{2}{5} }=3^{\frac{8}{20} }=\sqrt[20]{3^8}$

  $\sqrt[4]{3^3}=3^{\frac{3}{4} }=3^{\frac{15}{20} }=\sqrt[20]{3^{15}}$

$\dotfill$

(d)

    $\sqrt[14]{2^5}=2^{\frac{5}{14} }$  

    $\sqrt[21]{2^9}=2^{\frac{9}{21} }$

Achando agora uma fração equivalente a 5/14 e 9/21 de mesmo denominador:

   $\sqrt[14]{2^5}=2^{\frac{5}{14} }=2^{\frac{15}{42} }$

   $\sqrt[21]{2^9}=2^{\frac{9}{21} }=2^{\frac{18}{42} }$

Trazendo de volta:

  $\sqrt[14]{2^5}=2^{\frac{5}{14} }=2^{\frac{15}{42} }=\sqrt[42]{2^{15}}$

  $\sqrt[21]{2^9}=2^{\frac{9}{21} }=2^{\frac{18}{42} }=\sqrt[42]{2^{18}}$

$\dotfill$

(e)

    $\sqrt[10]{3^2}=3^{\frac{2}{10} }$  

    $\sqrt[6]{2^1}=2^{\frac{1}{6} }$

   $\sqrt[15]{2^4}=2^{\frac{4}{15} }$

Achando agora uma fração equivalente a 2/10, 1/6  e 4/15 de mesmo denominador:

   $\sqrt[10]{3^2}=3^{\frac{2}{10} }=3^{\frac{6}{30} }$

   $\sqrt[6]{2^1}=2^{\frac{1}{6} }=2^{\frac{5}{30} }$

  $\sqrt[15]{2^4}=2^{\frac{4}{15} }=2^{\frac{8}{30} }$

Trazendo de volta:

  $\sqrt[10]{3^2}=3^{\frac{2}{10} }=3^{\frac{6}{30} }=\sqrt[30]{3^6}$

   $\sqrt[6]{2^1}=2^{\frac{1}{6} }=2^{\frac{5}{30} }=\sqrt[30]{2^5}$

  $\sqrt[15]{2^4}=2^{\frac{4}{15} }=2^{\frac{8}{30} }=\sqrt[30]{2^8}$

$\dotfill$

(f)

    $\sqrt[5]{3^4}=3^{\frac{4}{5} }$  

    $\sqrt[10]{6^1}=6^{\frac{1}{10} }$

   $\sqrt[2]{2^1}=2^{\frac{1}{2} }$

Achando agora uma fração equivalente a 4/5, 1/10  e 1/2 de mesmo denominador:

   $\sqrt[5]{3^4}=3^{\frac{4}{5} }=3^{\frac{8}{10} }$

   $\sqrt[10]{6^1}=6^{\frac{1}{10}$

  $\sqrt[2]{2^1}=2^{\frac{1}{2} }=2^{\frac{5}{10} }$

Trazendo de volta:

   $\sqrt[5]{3^4}=3^{\frac{4}{5} }=3^{\frac{8}{10} }=\sqrt[10]{3^8}$

   $\sqrt[10]{6^1}=6^{\frac{1}{10}}=\sqrt[10]{6}$

  $\sqrt[2]{2^1}=2^{\frac{1}{2} }=2^{\frac{5}{10} }=\sqrt[10]{2^5}$

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Veja também:

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