Question

Reduza ao 1º Quadrante sen 570º *​

Answer 1

O arco de 570° excede 360°, uma volta completa do circulo trigonométrico.

Assim, antes de redução ao 1º quadrante, precisamos encontrar a 1ª determinação positiva do arco de 570°, ou seja, vamos achar um arco entre 0° e 360° (1ª volta do circulo trigonométrico) congruente ao arco de 570°

Para isso, vamos dividir 570° por 360°, o resto da divisão será a 1ª det. positiva.

$\dfrac{570^\circ}{360^\circ}~=~1~+~\underbrace{210^\circ}_{Resto}~~~\rightarrow~~\boxed{1^adet.~positiva~=~210^\circ}$

Podemos então afirmar que 210° é congruente ao angulo de 570°, ou seja, possui mesmo valor de seno e cosseno.

Redução ao 1º quadrante.

Aqui precisaremos da informação do quadrante do arco.

O arco de 210° se encontra no 3° quadrante (entre 180° e 270°).

Neste quadrante, como podemos ver na tabela abaixo, o sinal de seno é negativo. Precisaremos considerar este sinal posteriormente.

 $\begin{array}{c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\end{array}$

Agora, utilizando a tabela para a simetria entre arcos do 1º quadrante e arcos nos demais (abaixo), podemos calcular o arco simétrico à 210° no 1º quadrante:

           $\begin{array}{c|c|c|c|}\boxed{^{Simetria~de}_{~~~Arcos}}&^{Arco~\theta~no~2^o}_{~quadrante}&^{Arco~\theta~no~3^o}_{~quadrante}&^{Arco~\theta~no~4^o}_{~quadrante}\\&&&\\^{Arco~simetrico~a~\theta}_{~~no~1^oquadrante}&^{180^\circ-\,\theta}_{\pi-\theta~rad}&^{~\theta-180^\circ}_{\theta-\pi~rad}&^{~360^\circ-\,\theta}_{2\pi-\theta~rad}\end{array}$

              $\underbrace{210^\circ}_{3^oquadrante}\Rightarrow~~~\underbrace{210^\circ-180^\circ}_{reducao~ao~1^oquadrante}~\Rightarrow\underbrace{30^\circ}_{1^oquadrante}$

Não esquecendo do sinal, temos então que o sen(570°) reduzido ao 1° quadrante fica:

                              $\boxed{sen(570^\circ)~=~sen(210^\circ)~=\,\boxed{-sen(30^\circ)}}$

Podemos ainda, calcular o valor deste seno utilizando  a tabela de senos para os arcos notáveis.

               $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&^{~~0^\circ}_{0~rad}&^{~~~30^\circ}_{\pi/6~rad}&^{~~~45^\circ}_{\pi/4~rad}&^{~~~60^\circ}_{\pi/3~rad}&^{~~~90^\circ}_{\pi/2~rad}\\Seno&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\Cosseno&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\Tangente&0&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&^{~nao}_{existe}\end{array}$

                                         $\boxed{sen(570^\circ)~=\,-\dfrac{1}{2}}$