Question

Recompensa: 80 pontos.

Gincana da noite.

Dado m > 0, a equação

$\boxed{ \sqrt{x + m} = x - \sqrt{m} }$
admite:

a) unicamente a raiz nula
b) uma raiz real e positiva
c) uma única raiz real e negativa
d) duas raízes reais, sendo uma nula
e) duas raízes reais e simétricas

Boa sorte ksksk.

​

Answer 1

Resposta:

√(x+m)=x-√m

√(x+m)²=(x-√m)²

x+m=x²-2x√m+m

x=x²-2x√m

x²-x*(2√m +1)=0

x*[x-(2√m +1)]=0

x'=0

x-(2√m +1)=0 ==>x''=2√m +1

Testando (tem que testar sempre)

Se x=0 ==>√(0+m)=x-√m ==>√m=-√m  

..só é possível se m=0 ; ñ serve, condição do problema m>0

Se x=2√m +1 ==>√(2√m +1+m)=2√m +1-√m

√(2√m +1+m)=√m +1

√(√m²+2√m +1)=√m +1

√(√m+1)²=√m +1

√m+1 =√m+1 ..Verdadeiro

b) uma raiz real e positiva  

Answer 2

Resposta:

b) uma raiz real e positiva

Explicação passo-a-passo:

√(x + m) = x - √m [eleva os 2 lados ao quadrado]

[√(x + m)]² = (x - √m)²

x + m = x² - 2.x.√m + (√m)²

x + m = x² - 2.x.√m + m [cancela o m]

x = x² - 2x√m

0 = x² - 2x√m - x [colocando o x em evidência...]

x² - x (2√m - 1) = 0

x.[x - 1.(2√m - 1)] = 0

x' = 0

x" - 1.(2√m - 1) = 0

x" - 2√m + 1 = 0

x" = 2√m - 1

Testando x' = 0:

√(x + m) = x - √m

√(0 + m) = 0 - √m

√m = - √m (PROPOSIÇÃO FALSA)

Testando x" = 2√m - 1 :

√(x + m) = x - √m

√[(2√m - 1) + m] = 2√m - 1 - √m

√(2√m - 1 + m) = √m - 1 [eleva os 2 lados ao quadrado]

(√(2√m - 1 + m) )² = (√m - 1)²

2√m - 1 + m = (√m)² - 2 . √m . 1 + 1²

2√m - 1 + m = m - 2√m + 1 [cancela o m]

2√m - 1 = - 2√m + 1

2√m + 2√m = 1 + 1

4√m = 2

√m = 2/4

√m = 1/2

m = √1/2

m = (√1) / (√2)

m = 1 / (√2) [racionalizando]

m = (√2) / 2

m ≈ 1,4 / 2

m ≈ 0,7 (m > 0)

Conclusão:

b) uma raiz real e positiva

Espero ter ajudado!