Question

Recompensa: 50 pontos.

Gincana da noite

I) A circunferência definida pela equação x² + y² - 6x + 2y = 6 está inscrita em um quadrado.
A medida da diagonal desse quadrado é:

A) √2
B) 2√2
C) 4√2
D) 6√2
E) 8√2

Boa sorte ksks.

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Answer 1

Resposta:

x² + y² - 6x + 2y = 6

Fatorando a equação:

Fica:

(x - 3)² + (y + 1)² = 16

Raio da circunferência igual a $\sqrt{16} = 4$

O lado desse quadrado é 8.

Fórmula da diagonal de um quadrado.

D = L√2

D = 8√2 alternativa E

Segue anexo.

Answer 2

Resposta:

$e)~8\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Oi! Para resolvermos esse exercício, temos que conhecer a equação reduzida da circunferência: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, onde a e b são, respectivamente, as coordenadas x e y do seu centro. Desenvolvendo essa equação, chegamos na equação geral da circunferência.

Precisamos saber também o que é uma circunferência inscrita em um quadrado. Isso quer dizer que há uma circunferência dentro de um quadrado, e ela irá tocar os pontos médios dos seus lados. Consequentemente, seu diâmetro será igual a medida do lado do quadrado e seu raio será a metade do lado.

O exercício pede a medida da diagonal do quadrado. Podemos achá-la lembrando que em um quadrado de lado $l$, a medida da diagonal é $l\sqrt{2}$.

Isso é derivado do Teorema de Pitágoras.

A diagonal do quadrado o divide em dois triângulos retângulos, se chamarmos a diagonal de d, temos:

$l^2+l^2=d^2\\\\2l^2=d^2\\\\\sqrt{2l^2}=d\\\\\sqrt{2}\cdot\sqrt{l^2}=d\\\\\sqrt{2}\cdot{l}=d\\\\d=l\sqrt{2}$

Agora que já temos todas as informações necessárias, vamos começar os cálculos.

Primeiramente, vamos descobrir qual é o raio da circunferência, desenvolvendo a equação reduzida genérica.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\\\\x^2+y^2-2ax-2by=r^2-a^2-b^2$

A equação da circunferência do problema é $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 6$.

Portanto,

$-2ax=-6x\\\\2a=6\\\\a=\frac{6}{2}\\\\a=3$

Logo, a coordenada x do centro vale 3.

$-2by=2y\\\\-2b=2\\\\b=-\frac{2}{2}\\\\b=-1$

Então, a coordenada y do centro vale -1. Vamos chamar nosso centro de O, O(3, -1).

$r^2-a^2-b^2=6\\\\r^2-3^2-(-1)^2=6\\\\r^2-9-1=6\\\\r^2-10=6\\\\r^2=6+10\\\\r^2=16\\\\r=\sqrt{16}\\\\r=4$

O raio da circunferência vale 4. Então, o lado do quadrado vale 8. E, portanto, sua diagonal vale $8\sqrt{2}$.

Alternativa correta: E

Saiba mais em:

1. Equação da circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/11104519

2. Diagonal do quadrado: https://brainly.com.br/tarefa/10689957

3. Teorema de Pitágoras: https://brainly.com.br/tarefa/20718757

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️