Question

Recompensa: 40 pontos

Gincana da tarde:

I) Resolva a equação exponencial:
$\large \boxed{\frac{25 {}^{x} + 125 }{6} = 5 {}^{x + 1} }$
Boa sorte :v​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial :

Dada a equação :

$\mathtt{ \huge{ \dfrac{25^x + 125}{6}~=~5^{x + 1} } }$

Para a resolução deste exercicio , vamos usar algumas artimanhas muito boas...

inicialmente , vamos manipular um pouco a expressão , deixando ela de maneira mais simples :

$\mathsf{ \Longleftrightarrow \dfrac{ (5^x)^2 + 125 }{6}~=~5^x \cdot 5 }$

Seja : $\mathsf{ \red{ 5^x~=~k } }$

$\Longleftrightarrow \mathtt{ \dfrac{ k^2 + 125 }{6}~=~5k }$

$\Longleftrightarrow \mathtt{ k^2 + 125~=~5k \cdot 6 }$

$\boxed{ \mathtt{ \blue{ k^2 - 30k + 125 ~=~0 } } }$

Fatorando a Equação acima , vamos ter :

$\Longleftrightarrow \mathtt{ (k - 5)(k - 25)~=~0 }$

$\Longleftrightarrow \mathtt{k - 5 ~=~0~\vee~k - 25~=~0 }$

$\boxed{\mathtt{ \green{ k_{1}~=~5~\vee~k_{2}~=~25 } } }$✅✅

Lembremos que : $\mathtt{ 5^x~=k }$ , então :

$\Longleftrightarrow \mathtt{5^x~=~k_{1}~\vee~5^x~=~k_{2} }$

$\Longleftrightarrow \mathtt{\cancel{5}^x~=~\cancel{5}^1~\vee~\cancel{5}^x~=~25~=~\cancel{5}^2 }$

$\boxed{\mathtt{ \green{ x_{1}~=~1~\vee~x_{2}~=~2 } } }$ ✅✅

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

$\mathtt{\dfrac{{25}^{x}+125}{6}={5}^{x+1}}$

$\mathtt{\dfrac{{({5}^{x})}^{2}+125}{6}={5}^{x}.5} \\ \mathtt{fazendo~{5}^{x}=t}$

$\mathtt{ \dfrac{ {t}^{2} + 125 }{6} = 5t} \\\mathtt{ {t}^{2} - 30t + 125 = 0}$

$\mathtt{\Delta=900-500=400}\\\mathtt{t=\dfrac{30\pm20}{2}}\\\mathtt{t_{1}=25~~t_{2}=5}$

$\mathtt{{5}^{x}\big|_{t=25}}\\\mathtt{{5}^{x}=25}\\\mathtt{{5}^{x} ={5}^{2}\to~x=2}$

$\mathtt{{5}^{x}\big|_{t=5}}\\\mathtt{{5}^{x}=5}\\\mathtt{{5}^{x} ={5}^{1}\to~x=1}$

$\boxed{\boxed{\mathtt{s=\{1,2\}\boxed{\checkmark}}}}$