Question

RECOMPENSA: 40 pontos.

Gincana da tarde.

I) Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.

II) Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0

Boa sorte ksksks.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Geometria analítica !

Estudo das rectas :

Para achar o ângulo formado por duas re[c]tas , primeiramente temos que reduzir as equações , mas por vezes podemos ter as equações já prontas/reduzidas , é só jogar na seguinte Expressão matemática :

$\mathsf{\tan(\alpha)~=~\Big| \dfrac{m_{r}-m_{s}}{1+m_{r}.m_{s}} \Big| }$

I) Dada a re[c]tas :

r : y = 3x + 4 e s : y = -2x + 8

então vamos ter :

mr = 3 e ms = -2

$\mathsf{ \tan(\alpha)~=~\Big| \dfrac{3 + 2}{1 + 3.(-2)} \Big| }$

$\mathsf{ \tan( \alpha)~=~\Big| \dfrac{5}{1-6} \Big|~=~\Big|\dfrac{5}{-4}\Big| }$

$\mathsf{ \tan(\alpha)~=~\dfrac{5}{4}~=~\red{1,25 } }$

_______________________________________________

II) Dada as re[c]tas :

r : x - y = 0 e s : 3x + 4y - 12 = 0

Para achar a rectas , vamos reduzir cada uma delas.

Reduzindo a recta r ...

r : x - y = 0

y = x

Reduzindo a recta s ...

s : 3x + 4y - 12 = 0

3x - 12 = -4y

-4y = 3x - 12

4y = -3x + 12

y = -3x/4 + 3

Então vamos ter :

{ mr = 1

{ ms = -3/4

Jogando na Fórmula acima :

$\mathsf{ \tan(\alpha)~=~ \Bigg| \dfrac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\Bigg|}$

$\mathsf{ \tan( \alpha)~=~\Big| \dfrac{ \frac{4+3}{4} }{ \frac{4-3}{4} } \Big| }$

$\mathsf{ \tan( \alpha)~=~\Big| \dfrac{ \frac{7}{4} }{ \frac{1}{4} } \Big|~=~\Big| \dfrac{7}{\cancel{4}} . \cancel{4} \Big| }$

$\mathsf{ \tan( \alpha)~=~|7|~=~\red{7} }$

Espero ter ajudado bastante!)...

Answer 2

Respostas:

I) 45°

II ) 81,87°

Explicação passo-a-passo:

I) Sem fórmula esse

Translações não alteram o ângulo entre retas. Então podemos trocar a reta

y = 3x+4 pela reta y = 3x e

y = -2x + 8 pela reta y = -2x

Assim, basta apenas calcular o ângulo entre y = 3x e y = -2x

O ângulo entre y = 3x e o eixo x é α. Daí tan α = 3

O ângulo entre y = -2x e o eixo x é β. Daí tan β = -2

(estamos considerando α e β no intervalo [0,π])

Assim os ângulos formados por essas duas retas são  (supondo β  > α)

β - α e π +α - β

Com isso temos

tan (β-α) = ( tanβ - tanα) / (1+ tanα tanβ)

tan (β-α)  = (-2-3) / (1-6) = 1

β-α = 45°

Logo, os ângulos entre as retas são 45° e 135°

Obs.: Se você sabe produto escalar, o problema é o mesmo que calcular o ângulo entre os vetores (1,3) e (1,-2), que é bem mais fácil

Assim, se θ  é o ângulo entre esses vetores temos

(1,3)·(1,-2) = |(1,3)| |(1,-2)| cos θ

1 - 6 = √(10) √5 cos θ

cos θ = √2 / 2

θ = 45°

II ) Vou só usar a fórmula nesse

Se as retas tem coeficientes angulares m₁ e m₂, o ângulo θ entre elas pode ser calculado usando a fórmula (desde que nenhuma delas seja vertical)

$\tan \theta = \left| \dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2} \right|$

O coeficiente da reta x-y = 0 é m₁ = 1 e o da rea 3x+4y = 12 é m₂ = -3/4. Logo:

$\tan \theta =\left| \dfrac{1 + \frac 34}{1 - \frac 34} \right|= 7 \implies \theta = \arctan 7 \approx 81,87^\circ$

Assim os ângulos são aproximadamente 81,87° e 98,13°