Question

RECOMPENSA: 100 pontos.

I) Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é:

a) ∛2.
b) √2.
c) ∛3.
d) √3.
e) ∛9.

II) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula: (Está na foto).
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.
De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é
a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.

Boa sorte ksksk.
​

Answer 1

Respostas:

I ) e) ∛9

II ) d) 16

Explicação passo-a-passo:

I)

Lembramos a formula de mudança de base para logarítmos:

$\log_b x = \dfrac{\log_c x}{\log_x b}$

Com isso, segue que

log₉x = log₃x / log₃9 =  log₃x / 2

Assim temos

log₃x + log₃x/2 =1

log₃x = 2/3

x = 3^(2/3) = ∛9

Resposta: e) ∛9

II )

Queremos descobrir para quais valores de n temos as prestações maiores que 400. Basta resolver a inequação:

$\dfrac{5000 \times 0,013 \times 1,013^n}{1,013^n -1} > 400$

Para ficar mais fácil de visualizar, vamos trocar 1,013 por A. Daí obtemos:

$\dfrac{65 A^n }{A^n- 1} > 400 \implies \\[2ex]400 A^n - 400 < 65 A^n \implies \\[2ex]335A^n < 400$

Como log na base 10 é crescente, podemos tomar os logaritmos na inequação acima preservando a desigualdade:

log (335 Aⁿ) < log 400

log 335 + n log A <  log 400

Substituindo os valores disponibilizados pela questão advém

2,525 + n*0,005 < 2,602

n*0,005 < 0,077

n <  15,4

Assim, parcelando em até 15 prestações compromete o orçamento, pois as parcelas terão valor superior a 400. Portanto, a resposta é d) 16