Question

Realize o estudo do sinal das funções: A) f(x) = x² – 3x + 2, B) y = x² + 8x + 16, C) f(x) = 3x² – 2x + 1 e D) y = – 2x² – 5x + 3​

Answer 1

Resposta:

A)

Negativo no intervalo  ] 1 ; 2 [

Positivo em : [ - ∞ ; 1 [  ou ] 2 ; + ∞ [    

B)

Positiva em todo o domínio |R , exceto na raiz, onde é zero.

C)

Positiva em todo o domínio |R

D)

Positiva em  ] - 3 ; 1/2 [

Negativa em ] - ∞ ; - 3 [  ou em ] 1/2 ; + ∞ [  

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Estudo do sinal numa parábola

Grupo I - coeficiente "a" positivo

1ª situação - Existem duas raízes            ( 1 )

→ Parábola negativa entre as raízes

→ Parábola positiva no restante domínio

2ª situação - existe só uma raiz                ( 2 )

→ Parábola positiva em todo o domínio exceto no valor de x da raiz única

3ª situação - não há raízes reais                 ( 3 )

→ Parábola positiva em todo o domínio

Grupo II - coeficiente "a" negativo

1ª situação - Existem duas raízes                  ( 4 )

→ Parábola positiva entre as raízes

→ Parábola negativa no restante domínio

2ª situação - existe só uma raiz                      ( 5 )

→ Parábola negativa em todo o domínio exceto no valor de x da raiz

3ª situação - não há raízes reais                      ( 6 )

→ Parábola negativa em todo o domínio

A)

f(x) = x² - 3x + 2    

Fórmula de Bhaskara

x =  ( - b ± √Δ ) /2a           Δ = b² - 4 * a  c        a ≠ 0

a = 1      b = - 3      c = 2          

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = + 1

Δ = 1  logo positivo,  tem duas raízes reais

$x_{1} =\frac{- (-3) + \sqrt{+1}}{2*1}$                    $x_{2} =\frac{- (-3) - \sqrt{+1}}{2*1}$              

$x_{1} =\frac{ 3+1}{2}=2$                    $x_{2} =\frac{3 -1}{2}=\frac{2}{2} =1$  

Situação ( 1 )

Negativo no intervalo  ] 1 ; 2 [

Positivo em : [ - ∞ ; 1 [  ou ] 2 ; + ∞ [        

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B) y = x² + 8x + 16    

Fórmula de Bhaskara

x =  ( - b ± √Δ ) /2a           Δ = b² - 4 * a  c        a ≠ 0

a =   1    b = 8    c = 16

Δ  = (8)² - 4 * 1 * 16 = 64  - 64 = 0

Δ = 0 , tem só uma raiz ( chamada dupla )

Situação ( 2 )        

Positiva em todo o domínio |R , exceto na raiz, onde é zero.

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C) 3x² - 2x + 1

Fórmula de Bhaskara

x =  ( - b ± √Δ ) /2a           Δ = b² - 4 * a  c        a ≠ 0

a = 3   b = -2    c = 1

Δ = (- 2 )² - 4 * 3 * 1  = 4 - 12 = - 10    

Δ = - 10  <  zero     não existem raízes reais

Situação ( 3 )

Positiva em todo o domínio |R

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D) y = - 2x² - 5x + 3    

x =  ( - b ± √Δ ) /2a           Δ = b² - 4 * a  c        a ≠ 0

a = - 2    b = - 5    c = 3

Δ = ( - 5 )² - 4 * ( - 2 ) * 3 = 25 + 24 = + 49

Situação ( 4 )

$x_{1} = \frac{-(-5)+7}{2*(-2)}$                               $x_{2} = \frac{-(-5)-7}{2*(-2)}$      

$x_{1} = \frac{12}{-4}=-3$                                $x_{2} = \frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$    

Situação ( 4 )

Positiva em  ] - 3 ; 1/2 [

Negativa em ] - ∞ ; - 3 [  ou em ] 1/2 ; + ∞ [  

Observação final → Como "ver" o sinal num certo ponto ?

É através da coordenada em y, desse(s) ponto(s)

Bona estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão     ( ≠ )