Question

Realize o estudo do sinal das funções

Answer 1

Pede-se para realizar o estudo de sinais das funções abaixo:

a) f(x) = x² - 6x - 8

b) f(x) = - x² + 9x + 5.

Antes de iniciar, veja que uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'' terá a seguinte variação de sinais:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja: para x < x' ou para x > x''.

ii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = x' e para x = x''.

iii) f(x) terá sinal contrário ao sinal do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para: x' < x < x''.

Bem, visto isso, então vamos para estudar a variação de sinais para cada uma das funções dadas.

a) f(x) = x² - 6x - 8 ----- para encontrar as raízes vamos fazer f(x) = 0. Com isso, teremos:

x² - 6x = 8 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 3-√(17)

x'' = 3+√(17)

Note que a variação de sinais dar-se-á da seguinte forma (note que aqui o termo "a" é positivo):

f(x) = x² - 6x - 8 .. + + + + + [3-√17] - - - - - - - [3+√17] + + + + + + + +

Assim, como você vê pelo gráfico aí de cima, temos que a variação de sinais da função dada será:

f(x) > 0 para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para:

x < 3-√17 e x > 3+√17.

f(x) = 0 para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = 3-√17 e x = 3+√17.

f(x) < 0 para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, para:

3-√17 < x < 3+√17 .

b) f(x) = - x² + 9x + 5 ---- fazendo a mesma coisa, igualaremos f(x) a zero para encontrar as raízes. Assim:

- x² + 9x + 5 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = (9-√101)/2

x'' = (9+√101)/2

Note que a variação de sinais dar-se-á da seguinte forma (note que aqui o termo "a" é negativo):

f(x) = -x²+9x+5.. - - - - - - [(9-√101)/2] + + + + + + [(9+√101)/2] - - - - - - - - - -

Assim, pelo gráfico acima, você já deve ter concluído que a variação de sinais é esta:

f(x) < 0 para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja:

para x < (9-√101)/2 ou para x > (9+√101)/2

f(x) = 0 para valores de "x" iguais às raízes. Ou seja: para:

x = (9-√101)/2 ou para x = (9+√101)/2.

f(x) > 0 para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes, ou seja, para:

(9-√101)/2 < x < (9+√101)/2 .