Question

Realize a ortogonalização da base vetorial Usando o Processo de Gram–Schmidt

Answer 1

A base ortogonal obtida através do processo de Gram-Schimdt é

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\left\{\left(1, \ 1, \ 1\right),\ \left(1,\ -1, \ 0\right),\ \left(\frac{1}{6}, \ \frac{1}{6},\ -\frac{1}{3}\right)\right\}\\ \\\end{gathered} }$

Primeiramente temos que nos atentar ao enunciado que diz ortogonal, ou seja, não precisamos calcular uma base ortonormal, i.e, com vetores unitários, basta eles serem ortogonais.

Para isso precisamos ter muito claro o conceito de projeção e de produto interno, o produto interno usual entre os vetores u e v no $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^n\end{gathered}$ é dado por

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle u, v\right\rangle = \sum_{i = 1 }^{n}u_iv_i\end{gathered}$

Logo o produto interno no $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^3\end{gathered}$ é

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle u, v\right\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\end{gathered}$

E a projeção de um vetor u sobre um vetor v é

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\text{proj}_v u = \frac{\left\langle u,v \right\rangle}{\left\langle v,v \right\rangle}v\end{gathered}$

O processo de Gram-Schmidt consiste em

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&e_1 = u_1\\ \\&e_2 = u_2 - \text{proj}_{e_1} u_2\\ \\&e_3 = u_3 - \text{proj}_{e_1} u_3 - \text{proj}_{e_2} u_3\\&\qquad \qquad \qquad \vdots \\&e_n = u_n - \sum_{i = 1}^{n - 1} \text{proj}_{e_i} u_n \end{aligned}$

Dito isso, para uma base $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^3\end{gathered}$ temos apenas

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&e_1 = u_1\\ \\&e_2 = u_2 - \text{proj}_{e_1} u_2\\ \\&e_3 = u_3 - \text{proj}_{e_1} u_3 - \text{proj}_{e_2} u_3\end{aligned}$

Onde

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}u_1 = \left(1, \ 1, \ 1\right)\quad u_2 = \left(-1, \ 1, \ 0\right)\quad u_3 = \left(1, \ 2, \ 1\right)\end{gathered}$

Lembrando que esses vetores são ortogonais mas não ortonormais!

Colocando as projeções temos então

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&e_1 = u_1\\ \\&e_2 = u_2 - \frac{\left\langle u_2, e_1\right\rangle}{\left\langle e_1, e_1\right\rangle}e_1\\ \\&e_3 = u_3 - \frac{\left\langle u_3, e_1\right\rangle}{\left\langle e_1, e_1\right\rangle}e_1 - \frac{\left\langle u_3, e_2\right\rangle}{\left\langle e_2, e_2\right\rangle}e_2 \end{aligned}$

Fazendo as contas

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle u_2, e_1 \right\rangle = \left\langle u_2, u_1 \right\rangle = 0\\ \\\left\langle e_1, e_1 \right\rangle = \left\langle u_1, u_1 \right\rangle = 3\end{gathered}$

Ou seja, u₂ e u₁ já são ortogonais! logo

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}&e_1 = u_1\\ \\&e_2 = u_2 - \underbrace{\frac{\left\langle u_2, e_1\right\rangle}{\left\langle e_1, e_1\right\rangle}e_1}_{ = 0}\end{aligned} }$

O que implica

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&e_1 = u_1\\ \\&e_2 = u_2 \\ \\&e_3 = u_3 - \frac{\left\langle u_3, e_1\right\rangle}{\left\langle e_1, e_1\right\rangle}e_1 - \frac{\left\langle u_3, e_2\right\rangle}{\left\langle e_2, e_2\right\rangle}e_2 \end{aligned}$

Calculando novamente os produtos internos

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle e_1, e_1 \right\rangle = \left\langle u_1, u_1 \right\rangle = 3\\ \\\left\langle e_2, e_2 \right\rangle = \left\langle u_2, u_2 \right\rangle = 2 \\ \\\left\langle u_3, e_1 \right\rangle = \left\langle u_3, u_1 \right\rangle = 4\\ \\\left\langle u_3, e_2 \right\rangle = \left\langle u_3, u_2 \right\rangle = 1\\ \\\end{gathered}$

Então

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&e_1 = u_1\\ \\&e_2 = u_2 \\ \\&e_3 = u_3 - \frac{4}{3}e_1 - \frac{1}{2}e_2 = u_3 - \frac{4}{3}u_1 - \frac{1}{2}u_2 \end{aligned}$

Calculando os vetores multiplicados pelo escalar temos

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{4}{3}u_1 = \left(\frac{4}{3}, \ \frac{4}{3},\ \frac{4}{3}\right)\quad \frac{1}{2}u_2=\left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ 0 \right)\end{gathered}$

Concluímos que

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}e_3 = \left(1, \ 2, \ 1\right) -\left(\frac{4}{3}, \ \frac{4}{3},\ \frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{2},\ 0 \right)\\ \\e_3 = \left(\frac{1}{6}, \ \frac{1}{6},\ -\frac{1}{3}\right) \end{gathered}$

Então nossa base ortogonal é dada por

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\left\{e_1,\ e_2,\ e_3\right\}\\ \\\left\{\left(1, \ 1, \ 1\right),\ \left(1,\ -1, \ 0\right),\ \left(\frac{1}{6}, \ \frac{1}{6},\ -\frac{1}{3}\right)\right\}\\ \\\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

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