Question

realize a operação de derivação sucessiva para a função y = x^7 + 3x^4 - 5x + 34 até a ordem n = 4 e, em seguida, assinale a alternativa correta.

Answer 1

y = x^7 + 3x^4 - 5x + 34
=7x^6 + 12x^3 - 5 + 0
=42x^5 + 36x^2 - 0
=210x^4 + 72x^1
=840x^3 + 72 

Answer 2

Vamos lá.

Mazinho, veja que a resolução é simples.
Você não deu as alternativas para que escolhamos a correta.
Mas como a derivação sucessiva da sua questão está bem fácil, então vamos desenvolver a expressão que você deu até a 4ª derivada.
Antes veja que a derivada de uma função da forma:

f(x) = axⁿ é dada assim:
f'(x) = n*axⁿ⁻¹.

Assim, tendo, portanto a relação acima como parâmetro, então vamos tomar a expressão original e, a partir dela, vamos para cada uma das derivadas (1ª, 2ª, 3ª e 4ª). Assim teremos:

 i) Vamos para a primeira derivada a partir da expressão original e que é esta: y = x⁷ + 3x⁴ - 5x + 34.

y' = 7x⁶ + 4*3x³ - 1*5 + 0
y' = 7x⁶ + 12x³ - 5

ii) Vamos para a segunda derivada a partir da 1ª derivada acima e que é esta: y' = 7x⁶ + 12x³ - 5 . Assim:

y'' = 6*7x⁵ + 3*12x² - 0
y'' = 42x⁵ + 36x²

iii) Vamos para a terceira derivada a partir da 2ª derivada acima e que é esta:
y'' = 42x⁵ + 36x². Assim:

y''' = 5*42x⁴ + 2*36x
y''' = 210x⁴ + 72x

iv) Finalmente, vamos para a quarta derivada a partir da 3ª derivada acima e que é esta: y''' = 210x⁴ + 72x . Assim:

y'''' = 4*210x³ + 1*72
y'''' = 840x³ + 72 <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a 4ª derivada sucessiva da expressão original, que foi esta: y = x⁷ + 3x⁴ - 5x + 34.

Embora você não tenha dado as alternativas para que indicássemos qual é a correta, mas ela deverá ter a escrita a que chegamos na nossa resposta dada aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.