Question

raiz de x + 4 + 2 = x

Answer 1

$\sqrt{x+4}+2=x\\\\\sqrt{x+4}=x-2$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado e lembrando que √k² = |k|:

$(\sqrt{x+4})^{2}=(x-2)^{2}\\\\|x+4|=x^{2}-2\cdot x\cdot2+2^{2}\\\\|x+4|=x^{2}-4x+4$

Pela definição de módulo:

$|x+4|=\begin{cases}~~(x+4),~~~se~(x+4)\ge0\\-(x+4),~~~se~(x+4)~\textless~0\end{cases}=~''\pm(x+4)''$

Então, vamos abrir a equação em dois casos:

Caso 1: (x + 4) ≥ 0

$x^{2}-4x+4=|x+4|\\\\x^{2}-4x+4=x+4\\\\x^{2}-4x-x+4-4=0\\\\x^{2}-5x=0\\\\x\cdot(x-5)=0~\begin{cases}x=0~~ou\\x-5=0~~~\therefore~~~x=5\end{cases}$

Caso 2: (x + 4) < 0

$x^{2}-4x+4=|x+4|\\\\x^{2}-4x+4=-(x+4)\\\\x^{2}-4x+4=-x-4\\\\x^{2}-4x+x+4+4=0\\\\x^{2}-3x+8=0$

Resolvendo a equação por Bhaskara:

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot8\\\Delta=9-32\\\Delta=-23$

Como o delta é negativo, a equação não possui raízes reais, então vamos descartar esses valores (complexos) de x
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Possíveis valores para x: x = 0, x = 5

Testando x = 0 na equação dada:

$\sqrt{x+4}+2=x\\\\\sqrt{0+4}+2=0\\\\\sqrt{4}+2=0\\\\2+2=0\\\\4=0~~(absurdo, ent\~ao~descartamos~x=0)$

Testando x = 5:

$\sqrt{x+4}+2=x\\\\\sqrt{5+4}+2=5\\\\\sqrt{9}+2=5\\\\3+2=5\\\\5=5$

Como 5 satisfaz a equação, x = 5 é a única solução real da mesma.

$\boxed{\boxed{S=\{5\}}}$