Question

raiz cúbica de x+34 - raiz cúbica de x-3=1 Como resolver?

Answer 1

Resolver a equação irracional:

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{\,^3\!\!\!\sqrt{x+34}-\,^3\!\!\!\sqrt{x-3}=1} \end{array}$


Isole uma das raízes cúbicas em um membro da equação:

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{\,^3\!\!\!\sqrt{x+34}=1+\,^3\!\!\!\sqrt{x-3}} \end{array}$


Eleve os dois lados ao cubo. No lado direito, você deve desenvolver o cubo da soma de dois termos:

     •   $\large\begin{array}{l} \mathsf{(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3} \end{array}$


e a equação fica

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{(\,^3\!\!\!\sqrt{x+34})^3=(1+\,^3\!\!\!\sqrt{x-3})^3}\\\\ \mathsf{x+34=1^3+3\cdot 1^2\cdot \,^3\!\!\!\sqrt{x-3}+3\cdot 1\cdot (\,^3\!\!\!\sqrt{x-3})^2+(\,^3\!\!\!\sqrt{x-3})^3}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! x+34=1+3\,^3\!\!\!\sqrt{x-3}+3(\,^3\!\!\!\sqrt{x-3})^2+\diagup\!\!\!\! x-3}\\\\ \mathsf{0=3\,^3\!\!\!\sqrt{x-3}+3(\,^3\!\!\!\sqrt{x-3})^2+1-3-34}\\\\ \mathsf{3(\,^3\!\!\!\sqrt{x-3})^2+3\,^3\!\!\!\sqrt{x-3}-36=0} \end{array}$


Faça uma mudança de variável:

     $\large\begin{array}{lcl} \mathsf{\,^3\!\!\!\sqrt{x-3}=t}&\Rightarrow&\mathsf{x-3=t^3}\\\\ &&\mathsf{x=t^3+3\qquad\quad(i)} \end{array}$


e a equação fica

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{3t^2+3t-36=0}\\\\ \mathsf{3\cdot (t^2+t-12)=0}\\\\\\ \mathsf{t^2+t-12=0}\quad\longrightarrow\quad \left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=1}\\\mathsf{c=-12} \end{array} \right. \end{array}$


     $\large\begin{array}{l} \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=1+48}\\\\ \mathsf{\Delta=49}\\\\ \mathsf{\Delta=7^2} \end{array}$


     $\large\begin{array}{l} \mathsf{t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-1\pm\sqrt{7^2}}{2\cdot 1}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-1\pm 7}{2}}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=\dfrac{-1-7}{2}}&\quad\textsf{ou}\quad&\mathsf{t=\dfrac{-1+7}{2}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-8}{2}}&\quad\textsf{ou}\quad&\mathsf{t=\dfrac{6}{2}}\\\\ \mathsf{t=-4}&\quad\textsf{ou}\quad&\mathsf{t=3} \end{array} \end{array}$


Voltando à variável  x.

•   Para  t = – 4:

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{x=t^3+3}\\\\ \mathsf{x=(-4)^3+3}\\\\ \mathsf{x=-64+3}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=-61}\end{array}}\qquad\quad\checkmark \end{array}$


•   Para  t = 3:

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{x=t^3+3}\\\\ \mathsf{x=3^3+3}\\\\ \mathsf{x=27+3}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=30}\end{array}}\qquad\quad\checkmark \end{array}$


Como estamos resolvendo uma equação irracional, devemos testar os valores de x encontrados. Contudo, ao fazer isso você consegue verificar facilmente que ambos os valores encontrados são soluções da equação. Basta substituir cada um dos valores e verificar que a igualdade é verdadeira.


Conjunto solução:  $\large\begin{array}{l} \mathsf{S=\{-61,\,30\}.} \end{array}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Resolver a equação irracional:

     

Isole uma das raízes cúbicas em um membro da equação:

     

Eleve os dois lados ao cubo. No lado direito, você deve desenvolver o cubo da soma de dois termos:

    •    

e a equação fica

     

Faça uma mudança de variável:

     

e a equação fica

     

     

     

Voltando à variável  x.

•   Para  t = – 4:

     

•   Para  t = 3:

     

Como estamos resolvendo uma equação irracional, devemos testar os valores de x encontrados. Contudo, ao fazer isso você consegue verificar facilmente que ambos os valores encontrados são soluções da equação. Basta substituir cada um dos valores e verificar que a igualdade é verdadeira.

Conjunto solução: