Question

RADICIAÇÃO

Alguém pode me explicar como resolver esse exercício?

Resolva os itens a seguir.

a) Prove que o radical duplo $\sqrt{a \frac{+}{} \sqrt{b} }$ se transforma em uma soma de radicais simples, se e somente se, $a^{2} -b$ for um quadrado perfeito.

b) Considerando a condição do item a) satisfeita, prove que:
$\sqrt{a \frac{+}{} \sqrt{b} }$ = $\sqrt{ \frac{a + c}{2} } \frac{+}{} \sqrt{ \frac{a - c}{2} }$ e $c = \sqrt{ a^{2} - b }$

Answer 1

Olá Omicroniota.



A & B- 

Vamos provar que a soma de um radical duplo se transforma em um radical simples.


$\mathsf{\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{t}\pm\sqrt{s}}$

A partir daqui precisamos impor uma condição de existência no caso de uma operação de subtração, onde a deve ser maior que a raiz quadrada de b, caso contrario o radicando será negativo e isso não pode ocorrer em índices pares. E também é necessário que b não seja um quadrado perfeito.

$\mathsf{a\ \textgreater \ \sqrt{b}~\Rightarrow~(a)^2\ \textgreater \ (\sqrt{b})^2~\Rightarrow a^2\ \textgreater \ b}$

Levando os dois lados da desigualdade ao quadrado a desigualdade continua mantida.

A condição imposta acima implica que a raiz quadrada de t deve ser maior ou igual que de s e claro, t e s devem ser positivos, caso contrario o resultado será negativo, e isso não ocorre ao tirar a raiz com índice par de qualquer número.

$\mathsf{\sqrt{t}\geq\sqrt{s}~\Rightarrow~(\sqrt{t})^2\geq(\sqrt{s})^2~\Rightarrow~t\geq s}$

Continuando o desenvolvimento da primeira equação:

$\mathsf{(\sqrt{a\pm\sqrt{b}})^2=(\sqrt{t}\pm\sqrt{s})^2}\\\\\mathsf{a\pm\sqrt{b}=t\pm2\sqrt{ts}+s}\\\\\mathsf{a\pm\sqrt{b}=t+s\pm\sqrt{ts}~\gets~re-organizando.}$

Aqui como temos números racionais e irracionais, podemos compara-los termo a termo:

$\mathsf{a=t+s}\\\\\\\mathsf{\pm\sqrt{b}=\pm2\sqrt{ts}}\\\\\mathsf{(\pm\sqrt{b})^2=(\pm2\sqrt{ts})^2}\\\\\mathsf{b=4ts}\\\\\mathsf{\dfrac{b}{4}=ts}$

Aqui chegamos em 2 números que somados dão a e multiplicados dão b, e pela relação de Girard, temos a seguinte relação de uma raiz quadrada:

$\mathsf{x^2-(soma)x+produto}\\\\\mathsf{x^2-(a)x+\dfrac{b}{4}=0~\cdot(4)}\\\\\mathsf{4x^2-4ax+b=0}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-(-4a)\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot 4}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{4a\pm\sqrt{(-4a)^2-4\cdot4\cdot b}}{8}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{4a\pm\sqrt{16a^2-16b}}{8}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{4a\pm\sqrt{16\cdot(a^2-b)}}{8}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!4a\pm\diagup\!\!\!\!4\sqrt{a^2-b}}{\diagup\!\!\!\!8}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-b}}{2}}$


$\mathsf{x_1=\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}~~~~~}e~~~~~~\mathsf{x_2=\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Como as frações acima são semelhantes só mudando o sinais, podemos concluir que t será a raiz $\mathsf{x_1}$ e s a raiz $\mathsf{x_2}$.

Portanto, voltando a primeira equação, temos:

$\mathsf{\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}}$

Mas perceba que ainda temos a soma de dois radicais duplos. Portanto, a unica possibilidade de transformar um radical duplo na soma de dois simples, é se e somente se $\mathsf{a^2-b}$ for um quadrado perfeito.

$\mathsf{a^2-b=c^2}\\\\\\\mathsf{\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{c^2}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{c^2}}{2}}}\\\\\\\mathsf{\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-c}{2}}}$


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