Question

Racionalize o denominador e simplifique o resultado se possível.
$\frac{x^{2} -1}{\sqrt[3]{x}+1 }$
Sendo que o resultado é
$(x-1)(\sqrt[3]{x^{2} }-\sqrt[3]{x}+1)$

Answer 1

O resultado da fatoração, é como indicado pelo exercício igual a:

$(x-1).\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right)= (x-1).(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x} +1)$

Vejamos como resolver esse exercício. Estamos diante de um problema de racionalização de denominadores.

Vamos aos dados iniciais:

• Racionalize o denominador e simplifique o resultado se possível:
• $\frac{x^{2}-1 }{\sqrt[3]{x}+1 }$

Resolução:

Lembrando que : (x² - 1) = (x + 1) . (x - 1)

E que para racionalizarmos o denominador, devemos multiplicá-lo pelo polinômio: $(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x} +1) = x^{\frac{2}{3}}}-x^{\frac{1}{3}}+1$

Portanto:

$\frac{(x+1).(x-1).\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right)}{\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right).\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right)} =\\\\\\\frac{(x+1).(x-1).\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right)}{x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}+1\cdot \:x^{\frac{1}{3}}+1\cdot \:x^{\frac{2}{3}}-1\cdot \:x^{\frac{1}{3}}+1\cdot \:1}=$

$\frac{(x+1).(x-1).\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right)}{(x+1)}= (x-1).\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right) = (x-1).(\sqrt[3]{x^{2}} - \sqrt[3]{x} +1)$