Question

Racionalize o denominador e simplifique.
a) raiz quadrada de três mais raiz quadrada de cinco, dividido por raiz quadrada de três.
b) raiz quadrada de dois, dividido por raiz quadrada de cinco menos dois.

Answer 1

a)

$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \\\\\\ = \dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\\\\\ = \dfrac{3+\sqrt{15}}{3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}} = \dfrac{3+\sqrt{15}}{3^1}\\\\\\ = \dfrac{3+\sqrt{15}}{3}$


b)

$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5-2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\\\\\ como\; \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}\\\\\\ = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

Mas como a questão pede racionalizando,

$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \dfrac{ \sqrt{6} }{3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3^1} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Encontramos dois valores que aparentemente são diferentes, mas

$\sqrt{\frac{2}{3}}=0.81650\dots \;\;\;e\;\;\;\dfrac{\sqrt{6}}{3}=0.81650\dots$