Question

Racionalize o denominador de cada fração:



a) 1/²√3

b) 2/√2

c) 3/³√5

d) 1/⁵√2

e) 3/³√10

f) 1/√2+√7

g) 1/√3-√2

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Answer 1

Resposta:

a) $\frac{\sqrt{3} }{3}$      b)  $\sqrt{2}$     c)    $\frac{3\sqrt[3]{5^{2} } } {5}$      d)  $\frac{\sqrt[5]{2^{4} } }{2}$     e) $\frac{3\sqrt[3]{100} }{10}$      f) $-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7} }{5}$     g) $\sqrt{3} +\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Enunciado :

Racionalize o denominador de cada fração:

 a) 1/²√3                           b) 2/√2                                c) 3/³√5    

d) 1/⁵√2                 e) 3/³√10             f) 1/√2+√7           g)  1/√3-√2

Resolução:

Há várias abordagens a este tipo de exercícios.

Depende do que estiver no denominador.

a) 1/²√3  

Para racionalizar vou multiplicar o numerador e o denominador por √3.

√3 * √3 = √3² = 3   já está racional o denominador.

Tenho que também multiplicar o numerador por √3    

$\frac{1}{\sqrt{3} } = \frac{1 * \sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{3} } = \frac{\sqrt{3} }{3}$        

( nesta alínea interpretei " 1/²√3 "  como sendo " um a dividir por raiz quadrada de 3 "

b) 2/√2      

$2*\sqrt{2} = \frac{2*\sqrt{2} }{\sqrt{2}*\sqrt{2} } =\frac{2\sqrt{2} }{2} = \sqrt{2}$

Observação 1 → após a racionalização ,o "2" no numerador e no denominador, ao dividirem-se, cancelaram -se.

Nestes casos multiplica-se o denominador ( e também o numerador) por algo que no denominador faça "desaparecer" a raiz.

√2 * √2 = √2²  

Observação 2 → O objetivo é que o índice do radical seja igual ao expoente da potência debaixo de raiz.

Elevar algo ao quadrado e de seguida extrair raiz quadrada, é o "mesmo que não fazer nada", pois extrair raiz  de algo é o inverso de elevar algo ao quadrado. Cancelam-se.

c) 3/³√5

O mesmo procedimento e intenção aqui, só com uma pequena diferença.

No denominador tem-se ∛5 .

Se multiplicar ∛5  por ∛5²  = ∛( 5 * 5 ²) = ∛5³ = 5

Que pelo dito atrás, elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica, são operações opostas, que se cancelam mutuamente.

$\frac{3}{\sqrt[3]{5} } =\frac{3*\sqrt[3]{5^{2} } }{\sqrt[3]{5}*\sqrt[3]{5^{2} } } =\frac{3\sqrt[3]{5^{2} } } {5}$  

d) 1/⁵√2    

Raciocínio semelhante para esta fração

$\frac{1}{\sqrt[5]{2} } =\frac{1*\sqrt[5]{2^{4} } }{\sqrt[5]{2}*\sqrt[5]{2^{4} } } =\frac{\sqrt[5]{2^{4} } }{\sqrt[5]{2^{5} } } =\frac{\sqrt[5]{2^{4} } }{2}$  

e) 3/³√10  

$\frac{3}{\sqrt[3]{10} } = \frac{3*\sqrt[3]{10^{2} } }{\sqrt[3]{10}*\sqrt[3]{10^{2} } } =\frac{3*\sqrt[3]{10^{2} } }{10}$

= $\frac{3\sqrt[3]{100} }{10}$

f) 1/√2+√7

Observação 3 → Quando temos no denominador uma soma de parcelas com radicais, multiplica-se o numerador e o denominador pelo" conjugado" do denominador.

Observação 4 → O conjugado de ( √2 + √7 )  é  ( √2 - √7).

A única coisa que muda é o sinal da segunda parcela.

Cálculo auxiliar →

( √2 + √7 ) * ( √2 - √7)  

é um Produto Notável, que é a "Diferença de Dois Quadrados".  

( √2 + √7 ) * ( √2 - √7)   = (√2)² - (√7)² = 2 - 7 = - 5

Retomando o exercício

1/√2+√7  

= $\frac{1*(\sqrt{2}-\sqrt{7} }{- 5}= -\frac{1*(\sqrt{2}-\sqrt{7} )}{5}$

= $-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7} }{5}$

g) 1/√3-√2

Mesmo modo que a alínea anterior

Conjugado de √3 - √2  é   √3 + √2

Ao multiplicar  (√3 - √2 ) * ( √3 + √2 ) ,

já vimos que é um Produto Notável , a Diferença de Dois Quadrados

(√3 - √2 ) * ( √3 + √2 ) = (√3)²- (√2)² = 3 - 2 = 1

$\frac{1*(\sqrt{3}+\sqrt{2} )} {(\sqrt{3}-\sqrt{2})*(\sqrt{3}+\sqrt{2}) } = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2} }{(3-2)} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2} }{1} = \sqrt{3} +\sqrt{2}$

Bom estudo

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Sinais :   ( * ) multiplicação     ( / ) divisão

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Qualquer dúvida contacte-me na zona dos comentários à resposta.

Nas respostas que dou, quase na totalidade, procuro não só efetuar os cálculos,  mas também explicar o porquê de como e porque se fazem de determinada maneira.

Se quer ver apenas os cálculos, eles estão aqui.

Se quer aprender como se faz, estude a minha resolução,  porque, o que sei, eu ensino.