Question

Racionalize e simplifique o número $\frac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{(-2)^2\;}},$, sem calcular o valor de qualquer uma das raízes quadradas que aparecem na racionalização, diga se este número é maior ou menor que $\sqrt{5}/2$ Explique seu raciocínio.

Answer 1

É maior.

Para racionalizar uma fração, multiplicamos o denominador por seu conjugado. Primeiro, vamos resolver a potenciação e simplificar os radicais para facilitar os cálculos.

$\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{(-2)^2}} = \dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+2}$

$\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+2} = \dfrac{3\sqrt5+2\sqrt5}{\sqrt{13}+2} = \dfrac{5\sqrt5}{\sqrt{13}+2}$

Agora, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

$\dfrac{5\sqrt5}{\sqrt{13}+2} \cdot \dfrac{\sqrt{13}-2}{\sqrt{13}-2} = \dfrac{5\sqrt{13.5}-10\sqrt5}{13-4} = \dfrac{5\sqrt{13.5}-10\sqrt5}{9} = \dfrac{5\sqrt{65}-10\sqrt5}{9}$

Observe que:

$\sqrt{65} \approx 8\\\\\sqrt{5} \approx 2,2$

Assim temos que:

$\dfrac{5.8-10.2,2}{9} \approx \dfrac{40-22}{9} \approx \dfrac{18}{9} \approx 2\\\\\\\dfrac{2,2}{2} \approx 1,1$

Logo:

$\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{20}}{\sqrt{13}+\sqrt{(-2)^2}} > \dfrac{\sqrt{5}}2$

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