Question

Racionalize a fração 18/√3 apresentando a expressão na forma simplificada

Answer 1

Olá!

Antes de fazer a pergunta vamos entender, como se racionaliza um número?

Racionalização

1° Caso

O número:

$\frac{11}{ \sqrt{3} }$

Para se passar a raiz para cima, concorda que eu não posso multiplicar o número por um número tipo 5? Por que vai mudar o resultado, né?! Então... para racionalizar o número temos que multiplicar por um número que seja igual a um.

Você deve estar pensando: Assim?

$\frac{11}{ \sqrt{3} } \times 1$

Não é esse 1, concorda que a divisão de um número sobre um número é igual a 1? Então, vamos usar isso.

O que se faz nessa situação é pegar a raiz e multiplicar em uma divisão tanto no denominador quanto no numerador.

$\frac{11}{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

$\frac{11 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \times \sqrt{3} }$

O resultado pós racionalização é:

$\frac{11 \sqrt{3} }{3}$

Essa série de cálculos que visa reduzir o tamanho do cálculo se chama racionalização.

Visto esse primeiro caso temos outros casos...

2° Caso:

O número:

$\frac{8}{5 \sqrt{2} }$

A diferença desse para o do caso 1 é que temos o 5 no denominador temos um 5 multiplicando o ✓2

O que fazemos:

Para racionalizar esse número pegamos somente a raiz, deixando de lado o número que o multiplica.

$\frac{8}{5 \sqrt{2} } \times \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }$

Fazendo o cálculo assim fica:

$\frac{8 \sqrt{2} }{5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} }$

Racionalizando-a:

$\frac{8 \sqrt{2} }{5 \times 2}$

Que é:

$\frac{4 \sqrt{2} }{5}$

3° Caso

O número:

$\frac{4}{3 + \sqrt{5} }$

Nesse caso vemos uma situação peculiar, não pode ser resolvida com as regras anteriormente vistas...

Para isso pegamos o denominador todo e pegamos seu "inverso". Nesse caso temos: 3+✓5 seu "inverso" seria 3–✓5. Isso ocorre para que tenhamos o quadrado dos dois números.

Fica então:

$\frac{4}{3 + \sqrt{5} } \times \frac{3 - \sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} }$

Fazendo isso:

$\frac{12 - 4 \sqrt{5} }{ {3}^{2} - {\sqrt{5}}^{2} }$

$\frac{12 - 4 \sqrt{5} }{9 - 5}$

Isso é igual a:

$\frac{12 - 4 \sqrt{5} }{4}$

$\frac{4 \times (3 - \sqrt{5}) }{4}$

Simplificando fica

$3 - \sqrt{5}$

Visto todos os casos vamos resolver a pergunta feita:

Resolução e Resposta

O número:

$\frac{18}{ \sqrt{3} }$

Esse número se encaixa no 1° caso, vamos lá resolver!

$\frac{18}{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$

Isso é:

$\frac{18 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \times \sqrt{3} }$

$\frac{18 \sqrt{3} }{3}$

Terminado a racionalização fica:

$6 \sqrt{3}$

Então a resposta da pergunta é:

✔️6✓3✔️