Question

Racionalizar as expressões a seguir.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, AnaSousa, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para racionalizar as seguintes expressões, que vamos chamar, cada uma delas, de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa.

a)

y = 6/√(3) --- veja: para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(3)". Assim, fazendo isso, teremos;

y =  6*√(3)/√(3)*√(3) ---- desenvolvendo, teremos:
y = 6√(3) / √(3*3)
y = 6√(3) / √(9) ----- como √(9) = 3, teremos:
y = 6√(3) / 3 ---- simplificando-se numerador e denominador por "3", ficaremos apenas com:

y = 2√(3) <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b)

y = 2√(2) / 3√(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(5)". Fazendo isso, teremos:

y = 2√(2)*√(5) / 3√(5)*√(5) ---- desenvolvendo, teremos:
y = 2√(2*5) / 3√(5*5)
y = 2√(10) / 3√(25) ---- como √(25) = 5, ficaremos com:
y = 2√(10) / 3*5
y = 2√(10) / 15 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c)

y = (2+3√7) / √(7) --- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(7)". Assim, teremos:

y = (2+3√7)*√7 / √(7)*√(7) ---- desenvolvendo, teremos:
y = (2√(7) + 3√(7*7) / √(7*7)
y = (2√(7) + 3√(49) / √(49) ----- como √(49) = 7, teremos:
y = (2√(7) + 3*7) / 7
y = (2√(7) + 21) / 7 ---- ou, o que é a mesma coisa:
y = (21 + 2√(7)) / 7 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

d)

y = [2 + √(5)] / [2 - √(5)]

Veja: para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser: "2 + √(5)".Assim, fazendo isso, teremos:

y = [2+√(5)]*[2+√(5)] / [2-√(5)]*[2+√(5)] ----- desenvolvendo, teremos:
y = [2+√(5)]² / [2² - √(5²)] --- note que no numerador temos o quadrado de [2+√(5)] e, no denominador, temos o produto da soma pela diferença entre dois números. Assim, continuando o desenvolvimento, teremos;

y = [2²+2*2√(5)+√(5²)] / [4 - √(25)] ---- continuando:
y = [4+4√(5)+√(25)] / [4 - √(25)] ---- como √(25) = 5, teremos:
y = [4 + 4√(5) + 5] / [4 - 5] ---- continuando:
y = [9 + 4√(5)] / - 1 ---- passando o sinal do "-1" para antes da expressão, ficaremos com:

y = - [9 + 4√(5)] / 1 --- ou apenas:
y = - [9 + 4√(5)] <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".

Ou, se você quiser retirar os colchetes, ficaremos assim, o que é equivalente ao que está aí em cima;

y = - 9 - 4√(5) <--- A resposta do item "d" também poderia ficar desta forma.

e)

y = [√(3) + √(5)] / [√(3) - √(5)]

Veja: para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que vai ser: "√(3)+√(5)". Assim, fazendo isso, teremos:

y = [√(3) + √(5)]*[√(3) + √(5)] / [√(3) - √(5)]*[√(3) + √(5)] --- desenvolvendo:
y = [√(3) + √(5)]² / [√(3²) - √(5²)] ---- continuando, teremos:
y = [√(3²) + 2*√(3)*√(5) + √(5²)] / [√(3²) - √(5²)] --- continuando, teremos:
y = [√(9) + 2√(3*5) + √(25)] / [√(9) - √(25)] --- ainda continuando, temos:
y = [√(9) + 2√(15) + √(25)] / [ √(9) - √(25)] --- como √(9) = 3 e √(25) = 5, temos:

y = [3 + 2√(15) + 5] / [ 3 - 5] ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
y = [8 + 2√(15)] / -2 ---- passando o sinal do "-2" para antes da expressão, teremos:

y = - [8 + 2√(15)] / 2 --- simplificando-se cada fator por "2", iremos ficar apenas com

y = - [4 + √(15)] <--- Esta é a resposta para a questão do item "e".

Se você quiser, poderá retirar os colchetes, ficando a expressão do item"e" da seguinte forma, o que é uma resposta equivalente:

y = - 4 - √(15) <--- A resposta do item "e" também poderia ficar desta forma.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.