Matemática, perguntado por jothal, 1 ano atrás

Quql é o resto da divisao do número (3^2015 + 4^2015)^2015 +2015^2015 por 7?

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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Qual o resto da divisão do número \left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015} por 7?

Existe um pequeno teorema que diz que, se a é um número inteiro, p é primo e

\mathrm{mdc}(a,\,p)=1

então a divisão a^{p-1}\div p tem resto 1.


Representamos matematicamente assim

a^{p-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}p \right )


No nosso caso, temos que o número primo em questão é

p=7


Vamos por partes:

\bullet\;\; Parte 1: Qual o resto da divisão de 
3^{2\,015} por 7?

Sabemos que 
\mathrm{mdc}\left(3,\,7 \right )=1Logo, podemos aplicar o teorema para a=3 e p=7:

3^{7-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{6} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(3^{6} \right )^{335} \equiv 1^{335}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{6\,\cdot\,335} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,010} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,010}\cdot 3^{5} \equiv 1\cdot 3^{5}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,010+5} \equiv 243\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015} \equiv 243\left(\mathrm{mod\,}7 \right )

Mas,

243=34\cdot 7+5

Então,

3^{2\,015} \equiv 243 \equiv 5\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015} \equiv 5\left(\mathrm{mod\,}7 \right )

ou seja, o resto de 
3^{2\,015} \div 7 é 5.


\bullet\;\; Parte 2: Qual o resto da divisão de 4^{2\,015} por 7?

Sabemos que \mathrm{mdc}\left(4,\,7 \right )=1. Logo, podemos aplicar o teorema novamente para a=4 e p=7:

4^{7-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{6} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(4^{6} \right )^{335} \equiv 1^{335}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{6\,\cdot\, 335}\equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,010} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,010}\cdot 4^{5} \equiv1\cdot 4^{5}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,010+5} \equiv 1\,024\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,015}\equiv 1\,024\left(\mathrm{mod\,}7 \right )

Mas,

1\,024=146\cdot 7+2

Então,

4^{2\,015}\equiv 1\,024 \equiv 2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,015}\equiv 2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )

ou seja, o resto de 
4^{2\,015}\div 7 é 2.


\bullet\;\; Parte 3: Qual o resto da divisão de 2\,015^{2\,015} por 7?

Novamente, temos que \mathrm{mdc}\left(2\,015,\,7 \right )=1. Logo, podemos aplicar o teorema novamente para a=2\,015 e p=7:

2\,015^{7-1} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{6} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(2\,015^{6} \right )^{335} \equiv 1^{335}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{6\,\cdot\,335} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,010} \equiv 1\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\;\;\;\;\;(i)

Mas temos que

2\,015=287\cdot 7+6

e portanto,

2\,015 \equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{5} \equiv 6^{5}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{5} \equiv 7\,776\left(\mathrm{mod\,}7 \right )


E temos ainda que

7\,776=1\,110\cdot 7+6

Logo,

2\,015^{5} \equiv 7\,776\equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{5} \equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\;\;\;\;\;(ii)


Multiplicando 
(i) com (ii), temos

2\,015^{2\,010} \cdot 2\,015^{5} \equiv 1\cdot 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,010+5} \equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,015}\equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )

ou seja, o resto de 2\,015^{2\,015}\div 7 é 6.


\bullet\;\; Parte 4: Combinando os resultados das partes 1, 2 e 3, temos:

\left\{ \begin{array}{ccr} 3^{2\,015}&\equiv& 5\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 4^{2\,015}&\equiv& 2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 2\,015^{2\,015}&\equiv& 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right ) \end{array}\right.


Somando as duas primeiras sentenças, temos

3^{2\,015}+4^{2\,015} \equiv 5+2\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015}+4^{2\,015} \equiv 7\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ 3^{2\,015}+4^{2\,015} \equiv 0\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}\equiv 0^{2\,015}\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}\equiv 0\left(\mathrm{mod\,}7 \right )


Somando a terceira sentença, finalmente chegamos a

\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015}\equiv 0+6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )\\ \\ \boxed{\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015}\equiv 6\left(\mathrm{mod\,}7 \right )}


O resto da divisão de 
\left(3^{2\,015}+4^{2\,015} \right )^{2\,015}+2\,015^{2\,015} por 7 é 6.

Respondido por eloiserms
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Resposta:

não sei não faço ideia 1122425363783

Explicação passo a passo:

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