Question

Questões sobre trigonometria

Answer 1

$\cos x=\dfrac{1}{3}$

e $x$ é um arco do 1º quadrante.


$\bullet\;\;$ Encontrar $\mathrm{sen\,}x:$

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=1-\cos^{2}x\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=1-\left(\dfrac{1}{3} \right )^{2}\\ \\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=1-\dfrac{1}{9}\\ \\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=\dfrac{9}{9}-\dfrac{1}{9}\\ \\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=\dfrac{9-1}{9}\\ \\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}x=\dfrac{8}{9}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm\dfrac{\sqrt{8}}{3}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


Como $x$ é do 1º quadrante, o seno de $x$ é positivo. Logo,

$\mathrm{sen\,}x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


$\bullet\;\;$ Encontrar $\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}:$

Utilizaremos a seguinte identidade trigonométrica:

$\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{1+\frac{1}{3}}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3+1}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}}$


Como a tangente de $x/2$ é positiva, concluímos que $x/2$ pode estar no 1º ou no 3º quadrante.


$\bullet\;\;$ Encontrar $\mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}:$

$\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\\ \\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}\frac{x}{2}}{\cos^{2} \frac{x}{2}}\\ \\ \\ \mathrm{tg^{2}\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}\frac{x}{2}}{1-\mathrm{sen^{2}\,} \frac{x}{2}}$


Substituindo o valor da tangente de $x/2,$ temos

$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}\frac{x}{2}}{1-\mathrm{sen^{2}\,} \frac{x}{2}}\\ \\ \\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}\frac{x}{2}}{1-\mathrm{sen^{2}\,} \frac{x}{2}}\\ \\ \\ 2\,\mathrm{sen^{2}\,}\dfrac{x}{2}=1-\,\mathrm{sen^{2}\,}\dfrac{x}{2}\\ \\ \\ 2\,\mathrm{sen^{2}\,}\dfrac{x}{2}+\,\mathrm{sen^{2}\,}\dfrac{x}{2}=1\\ \\ \\ 3\,\mathrm{sen^{2}\,}\dfrac{x}{2}=1\\ \\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array}}$


O sinal do seno vai depender de qual quadrante está o arco $x/2.$

Se $x/2$ estiver no 3º quadrante (onde a tangente é positiva), então o seno de $x/2$ é negativo: $\mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Se $x/2$ estiver no 1º quadrante (onde a tangente também é positiva), então o seno de $x/2$ é positivo: $\mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$