Question

QUESTÃO | x+2/2x−3| < 4

Eu sei mais ou menos fazer a questão, até cheguei aos resultados finais mas ainda fico meio confuso

COMO APRENDI Primeiro tiro o modulo ai fica -4 < | x+2/2x−3| < 4 ai resolvo separado -4 < | x+2/2x−3| e | x+2/2x−3| < 4
Ai fico confuso nessa parte, minha professora diz que tem que resolver se x>0 e x<0

-4 < x+2/2x+3
x>0 = x<10/9 x<0= x>10/9

x+2/2x+3<4
x>0 = 2>x x<0= x<2

Ok, cheguei a esses quatro resultado e agora?, no fim sei que só vai usar 2 deles, mas qual? x<10/9 ou x>10/9 ???? ai que não entendo ai por fim ela pede pra por em notação de intervalo e conjunto e representar graficamente, ALGUEM ME EXPLICA, PLEASE

Answer 1

Olá!
 
    Você retira o módulo e resolve pra o caso "< 4" e para o caso "< - 4" (mas tudo sem o módulo), e faz as interseções dos resultados. Veja:


$\bigg{|}\dfrac{x+2}{2x-3}\bigg{|}\ \textless \ 4\\ \\ \text{\bf{Para o caso \ \textless \ 4 }}\\ \\ \dfrac{x+2}{2x-3}\ \textless \ 4\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{2x-3}-4\ \textless \ 0\Leftrightarrow \dfrac{x+2-4(2x-3)}{2x-3}\ \textless \ 0\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{-7x+14}{2x-3}\ \textless \ 0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}-7x+14&\ \textless \ &0\\ \text{e}&\;&\;\\ 2x-3&\ \textgreater \ &0 \end{array}\right.\;\;\text{ou}\;\;\left\{\begin{array}{lcr}-7x+14&\ \textgreater \ &0\\ \text{e}&\;&\;\\ 2x-3&\ \textless \ &0\end{array}\right.\\ \\ \text{Ou seja,}$

$\left\{\begin{array}{lcr}x&\ \textgreater \ &2\\ \text{e}&\;&\;\\ x&\ \textgreater \ &\frac{3}{2} \end{array}\right.\;\;\text{ou}\;\;\left\{\begin{array}{lcr}x&\ \textless \ &2\\ \text{e}&\;&\;\\ x&\ \textless \ &\frac{3}{2}\end{array}\right. \Rightarrow x\in\left]-\infty,\frac{3}{2}\right[\cup \left]2,+\infty\right[.$

Para o caso  $x<-4:$ 


$\dfrac{x+2}{2x-3}\ \textless \ -4\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{2x-3}+4\ \textless \ 0\Leftrightarrow \dfrac{x+2+4(2x-3)}{2x-3}\ \textless \ 0\Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \dfrac{9x-10}{2x-3}\ \textless \ 0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcr}9x-10&\ \textless \ &0\\ \text{e}&\;&\;\\ 2x-3&\ \textgreater \ &0 \end{array}\right.\;\;\text{ou}\;\;\left\{\begin{array}{lcr}9x-10&\ \textgreater \ &0\\ \text{e}&\;&\;\\ 2x-3&\ \textless \ &0\end{array}\right.$

Ou seja,

$\left\{\begin{array}{lcr}x&\ \textless \ &\frac{10}{9}\\ \text{e}&\;&\;\\ x&\ \textgreater \ &\frac{3}{2} \end{array}\right.\;\;\text{ou}\;\;\left\{\begin{array}{lcr}x&\ \textgreater \ &\frac{10}{9}\\ \text{e}&\;&\;\\ x&\ \textless \ &\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow x\in\left]\frac{10}{9},\frac{3}{2}\right[.$


Fazendo a interseção desses dois casos, temos:


$\left\{\begin{array}{l}x\in\left]-\infty,\frac{3}{2}\right[\cup \left]2,+\infty\right[\\ \text{e} \\ x\in\left]\frac{10}{9},\frac{3}{2}\right[ \end{array}\right.\Rightarrow x\in\left]\frac{10}{9},\frac{3}{2}\right[. \\ \\ \\ \text{Portanto, a solu\c c\~ao \bf{S} \'e}\\ \\ S=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{10}{9}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{3}{2}\right\}.$




Bons estudos!