Question

Questão Vicktoras
questao matematica Vicktoras foto

Answer 1

Questão 2: A questão pede para calcularmos a integral dupla da região D que fica no primeiro quadrante e é definida pela equação x² + y² ≤ 1. Nos é fornecido que a montagem da integral sem os limites de integração, que é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \sf \int\int_{D}xy \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } dA$

Antes de buscarmos os limites de integração, é interessante mudarmos as coordenadas desta integral de cartesianas para polares, pois é bem mais simples de se trabalhar.

$\begin{cases} \sf r = \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } \\ \sf x = rcos( \theta) \\ \sf y = rsen( \theta) \\ \sf dA = r.drd \theta\end{cases} \sf \: \to \: \int\int_{D}rcos( \theta).rsen( \theta) .r \: .rdrd \theta \\ \\ \sf \int\int_{D}r {}^{4} cos( \theta)sen( \theta) \: drd \theta$

Agora vamos encontrar a variação.

• Variação de r:

A questão diz que a região D é dada por x²+y² ≤ 1, esta equação é basicamente uma circunferência de raio 1. Portanto a variação é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf 0 \leqslant r \leqslant 1$

• Variação do ângulo theta:

A questão diz também que esta região se encontra no primeiro quadrante, nos fornecendo apenas uma variação de 0 à π/2. Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\sf 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{ \pi }{2}$

Substituindo essas variações, temos:

$\sf \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{1} r {}^{4} cos( \theta)sen( \theta) drd \theta$

Agora é só resolver normalmente. Iniciando pela integral de dentro, temos que o seu valor é:

$\sf \int_{0}^{1} r {}^{4} .cos( \theta)sen( \theta)dr \: \: \to \: \: \sf cos( \theta)sen( \theta) \int_{0}^{1} r {}^{4} dr \\ \\ \sf cos( \theta)sen( \theta). \left(\frac{r {}^{5} }{5} \right) \bigg |_{0}^{1} \: \: \to \: \: \frac{cos( \theta)sen( \theta)}{5}$

Substituindo o resultado na integral externa:

$\sf \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{cos( \theta)sen( \theta)}{5} d \theta \: \: \to \: \: \frac{1}{5} \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }cos( \theta)sen( \theta)d \theta \\ \\ \sf u = cos( \theta) \: \: e \: \: - du = sen( \theta)d \theta \\ \\ \sf - \frac{1}{5} \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }udu \: \: \to \: \: - \frac{1}{5} . \left( \frac{u {}^{2} }{2} \right) \bigg | _{0}^{ \frac{\pi}{2} } \: \: \to \: \: - \frac{1}{5} . \left( \frac{cos^{2} ( \theta) }{2} \right) \bigg | _{0}^{ \frac{\pi}{2} } \\ \\ \sf \frac{1}{5} . \frac{1}{2} \: \: \to \: \: \boxed{ \sf \frac{1}{10} }$

Portanto temos que a área é igual a 1/10.