Question

Questão sobre POLIEDROS.Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a:a) 3$\pi$b) 12$\pi$c) 36$\pi$d) 64$\pi$e) 108$\pi$Gabarito: eConsegui desenvolver uma parte:$F_{3}$ = 12A = 3. $F_{5}$3$F_{3}$ + 5 $F_{5}$ = 2A3$F_{3}$ + 5 $F_{5}$ = 2.(3$F_{5}$)3.12 + 5 $F_{5}$ = 6$F_{5}$)$F_{5}$ = 36A = 3. $F_{5}$A = 3.36A= 108A partir daqui não consegui mais desenvolver a conta, tentei aplicar ∑âng.F = 2$\pi$ (A - F) mas não encontrei o resultado correto, depois tentei calcular o vértice pela relação de Euler e aplicar ∑âng.F = 2$\pi$ (v-2) mas, novamente, não achei o resultado. Alguém, por favor, me ajude a terminar este exercício

Answer 1

t = 12, 
2A = 3t+5p, 
A=3p. 

t = 12, 
6p = 3t+5p, 


p = 3t. . . .p =36 

X = 3*36 = 108 TT rad letra (E) 
==============================1 pentagono = 3TT rad

Answer 2

e) 108π.

Para a resolução da questão, devemos considerar como p o número de faces pentagonais e que A = 3p e F = 12 + p. Como cada aresta é compartilhada por dois polígonos, teremos que:

5p + 3.12 = 2a

Dessa forma:

5p + 36 = 2.3p

5p + 36 = 6p

6p – 5p = 36

p = 36

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por 180° x (n-2), que equivale a π x (n-2). Considerando que 36 pentágonos, teremos a soma total dos ângulos internos igual a:

36 x π x (5-2) = 36 x π x 3 = 108π

Bons estudos!