Question

Questão sobre mdc
Considere a e b inteiros positivos. Prove que:

a. Se a é par e b é ímpar, então mdc(a,b) = mdc(a/2,b).

b. Se a e b são ambos pares, então mdc(a,b) = 2mdc(a/2,b/2).

Answer 1

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⠀⠀☞ Por absurdo temos que mdc(a,b) = mdc(a/2,b) e por uma pequena manipulação algébrica temos que mdc(a,b) = 2mdc(a/2,b/2). ✅

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a. Se a é par e b é ímpar, então mdc(a,b) = mdc(a/2,b).

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⠀⠀Sabemos que sendo b um número inteiro ímpar então 2 ∤ b (lê-se: 2 não divide b, ou, em outras palavras, b não é múltiplo de 2).

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⠀⠀Vamos supor, por absurdo, que mcd(a,b) ≠ mdc(a/2,b). Sabemos que a única diferença de mcd(a,b) para mcd(a/2,b) é a divisão de a por 2. Sabemos que a é um número inteiro par, ou seja, 2 | a (lê-se: 2 divide a, ou, em outras palavras, a é múltiplo de 2), ou seja, se mcd(a,b) ≠ mdc(a/2,b) então temos que a única justificativa para a desigualdade seria se 2 fosse um fator que também divide b. Porém isto seria um absurdo pois assumimos inicialmente que b é ímpar e portanto que 2 ∤ b. ✅

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b. Se a e b são ambos pares, então mdc(a,b) = 2mdc(a/2,b/2).

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⠀⠀Sabemos que se a e b são números pares então 2 | a e 2 | b (lê-se: 2 divide a e dois divide b ou, em outras palavras, a é múltiplo de 2 e b é múltiplo de 2). Portanto temos que o mdc(a/2,b/2) exclui um fator 2 de ambos os números a e b, o que também pode ser escrito como mdc(a,b) / 2. Desta forma temos que mdc(a,b) / 2 = mdc(a/2,b/2) o que pode ser reescrito (ao se multiplicar ambos os lados da igualdade por 2) como mdc(a,b) = 2mdc(a/2,b/2). ✅

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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