Question

Questão sobre limites:​

Answer 1

Resposta: -1/x²

Explicação passo-a-passo:

Esse limite é o limite de definição da derivada.

Comumente, nesse tipo de limite, nós queremos simplificar o h do denominador, e é o que vamos fazer nessa questão.

$\lim_{h \to \\0 } \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, sendo $f(x) = \frac{1}{x}$

Se $f(x) = \frac{1}{x}$, iremos inserir os valores dentro dos parênteses do limite na função.

Primeiro vou separar a subtração das funções em seus próprios denominadores, para evitar confusão.

$\lim_{h \to \\0 } \frac{f(x + h) }{h} - \frac{f(x)}{h}$

Agora, substituindo os valores:

$\lim_{h \to \\0 } \frac{\frac{1}{x+h} }{h} - \frac{\frac{1}{x} }{h}$  ∴ $\lim_{h \to \\0 } \frac{1}{(x+h)h} - \frac{1}{xh}$

Com essas duas frações, iremos efetuar o MMC (Efetuando a multiplicação cruzada dos termos, e depois a multiplicação dos denominadores entre si).

$\lim_{h \to \\0 } \frac{xh - (x+h)h }{(x+h)xh^{2} }$

Com isso, percebemos que o h pode ser colocado em evidência.

$\lim_{h \to \\0 } \frac{h[x - (x+h)] }{(x+h)xh^{2} }$

Então, iremos simplificar o h do numerador com o h² do denominador.

Após a simplificação:

$\lim_{h \to \\0 } \frac{x - (x+h) }{(x+h)xh}$  ⇒ $\lim_{h \to \\0 } \frac{x -x-h }{(x+h)xh}$ ∴$\lim_{h \to \\0 } \frac{-h }{(x+h)xh}$

Com isso, podemos simplificar novamente o -h do numerador com o h do denominador.

$\lim_{h \to \\0 } \frac{-1 }{(x+h)x}$

Aplicando a propriedade distributiva

$\lim_{h \to \\0 } \frac{-1 }{x^{2} + xh }$

E como h tende a 0, xh também tende a 0.

$\lim_{h \to \\0 } \frac{-1 }{x^{2}} = \frac{-1}{x^{2} }$