Question

Questão sobre inequações logarítmicas. Reposta correta: A) x>3

Answer 1

$log\,x~-~colog\,(x+1)~>~log\,12\\\\\\log\,x~-~(-log\,(x+1))~>~log\,12\\\\\\log\,x~+~log\,(x+1)~>~log\,12\\\\\\log\,x.(x+1)~>~log\,12\\\\\\log(x^2+x)~-~log\,12~>~0\\\\\\log\,\left(\frac{x^2+x}{12}\right)~>~0\\\\\\\frac{x^2+x}{12}>10^0\\\\\\x^2+x~>~12~.~1\\\\\\\boxed{x^2+x-12~>~0}$

Perceba que chegamos em uma inequação quadrática. Utilizando Bhaskara, achamos que as duas raízes da função x²+x-12 são: 3 e -4.

Como o coeficiente "a" da função x²+x-12 é positivo, a concavidade da curva será para cima e, portanto, podemos afirmar que x²+x-12 é maior que 0 para:

$\boxed{x~>~3}~~e~~\boxed{x~<-4}$

Essa, no entanto, ainda não é a resposta. Note que nos falta avaliar as condições de existência dos logaritmos. Lembrando que o logaritmando deve ser maior que 1:

$Para~log\,x~\rightarrow~\boxed{x>1}\\\\Para~colog\,(x+1)~\rightarrow~x+1>1~\rightarrow~\boxed{x>0}$

A resposta será a intersecção dos 3 intervalos (x<-4 ∪ x>3) , x>1 e x>0.

Essa intersecção é, justamente, x > 3 (Letra A)

Obs.: Em anexo a representação dos intervalos.