Question

Questão sobre inequação calculo 1

1-$\frac{x-1}{x+2}$ ≤ x

respostas (se possivel com calculo ou apenas a resposta)

a) ]-inf, -3 U ]-2,1]

b) ]-inf, -3] U ]1, +inf[

c) [-3,-2[ U [1, +inf[

d) ]-inf, -1] U [3, +inf[

e) [-1, 3]

Answer 1

Resposta:

1-(x-1)/(x+2) ≤ x      .....x≠-2

(x+2-x+1)/(x+2) -x ≤ 0

3/(x+2)  ≤ x

3/(x+2) -x ≤ 0

(3-x²-2x)/(x+2)≤0

(-x²-2x+3)/(x+2) ≤0

(x²+2x-3)/(x+2) ≥0

p=x²+2x-3  ==>x'=1  e x''=-3    ...a=1>0 ..concavidade e p/cima

p+++++++++++++++++++++++(-3)-------------------------(1)++++++++

q=x+2  ..raiz =-2   ..a=1>0  ...função crescente (negativo  ==>positivo)

q----------------------------------(-2)++++++++++++++++++++++++++++++++++

Estudo de sinais:

p+++++++++(-3)-----------------------------------(1)+++++++++

q------------------------------(-2)+++++++++++++++++++++++++

p/q-------------(-3)++++++(-2)---------------------(1)+++++++++++

[-3 , -2[  U [1 ,+∞)

Letra C

Answer 2

Resolver a inequação em ℝ:

    $\mathsf{1-\dfrac{x-1}{x+2}\le x}$

Condição de existência: o denominador não pode se anular:

    $\mathsf{x+2\ne 0}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x\ne -2}$

Resolvendo a inequação:

$\mathsf{\Longleftrightarrow\quad 1-\dfrac{x-1}{x+2}-x\le 0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1\cdot (x+2)-(x-1)-x\cdot (x+2)}{x+2}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\diagup\!\!\!\! x+2-\diagup\!\!\!\! x+1-x^2-2x}{x+2}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-x^2-2x+3}{x+2}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-(x^2+2x-3)}{x+2}\le 0}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2+2x-3}{x+2}\ge 0}$

Temos acima uma inequação-quociente. Devemos estudar os sinais do numerador e do denominador.

Encontrando as raízes do numerador:

    $\mathsf{x^2+2x-3=0}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad \Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=4+12}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \Delta=16}$

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-2\pm 4}{2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!2\cdot (-1\pm 2)}{\diagup\!\!\!\! 2}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x=-1\pm 2}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad x_1=-1-2\quad e\quad x_2=-1+2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad x_1=-3\quad e\quad x_2=1}$

O gráfico de f(x) = x² + 2x − 3 é uma parábola com concavidade voltada para cima, que intersecta o eixo x nos pontos x = − 3 e x = 1.

O gráfico de g(x) = x + 2 é uma reta crescente que intersecta o eixo x no ponto x = − 2.

Montando o quadro de sinais:

    $\large\begin{array}{ll} \mathsf{f(x)=x^2+2x-3}&\qquad\mathsf{\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\!\underset{-3}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{--------------}{\textsf{------}\!\!\!\underset{-2}{\circ}\!\!\!\textsf{------------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\small\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{g(x)=x+2}&\qquad\mathsf{\overset{--------}{\textsf{---------}\!\!\!\!\underset{-3}{\bullet}\!\!\!\textsf{------}}\!\!\!\underset{-2}{\overset{0}{\circ}}\!\!\!\overset{+++++++++++++++}{\textsf{------------------}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\small\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2-2x+3}{x+2}}&\qquad\mathsf{\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\!\underset{-3}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{+++}{\textsf{------}}\!\!\!\underset{-2}{\circ}\!\!\!\overset{----------}{\textsf{------------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\small\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}} \end{array}$

Como queremos que o quociente seja maior ou igual que zero, então a solução é

    $\mathsf{\left[-3,\,-2\right[\cup\left[1,\,+\infty \right[\quad\longleftarrow\quad resposta:~alternativa~c).}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)