Questão sobre derivadas y'=?
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Cálculo da derivada
Dada a função :
Vamos usar a regra da cadeia
Perceba que, se : Então:
Aplicando o pensamento acima podemos ter o seguinte :
Continuando com a simplificação :
Perceba que :
Por tanto podemos ter :
Separando a fracção :
Espero ter ajudado bastante!)
Dúvidas?? Comente por favor!!)
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa tarde.
Para encontrarmos a derivada da função , devemos relembrar algumas técnicas de derivação.
Observe que esta é uma função composta , tal que e .
Para derivarmos esta função, lembre-se que:
- A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia, de forma que: .
- A derivada de uma potência é dada por: .
- A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: .
- A derivada de uma constante é igual a zero.
Dessa forma, derive ambos os lados da equação
Aplique a regra da cadeia
Para derivarmos a primeira expressão, aplique a regra da soma:
Aplique a regra da constante e a regra da potência, lembrando que , teremos:
Some as frações no expoente e multiplique as frações
Então, lembre-se das propriedades de potência:
- O expoente negativo inverte a base, logo .
- A potência de uma fração por ser reescrita como a potência do numerador e do denominador, logo .
- O expoente fracionário pode ser reescrito como raiz, tornando o denominador o índice da raiz e o numerador expoente (por conta da propriedade de potência de potência), ou seja: .
Ficaremos com:
Observe que os fatores têm o mesmo expoente, logo reescrevemos de acordo com a regra de potência de fração discutida acima:
Separe a fração como uma soma de frações
Simplifique a segunda fração
Observe que o erro do seu professor está na regra da potência.
Deduz-se isso pois o denominador é resultado da simplificação da raiz .
Veja que ao reescrevermos esta raiz como fração, teremos
Reescrevendo a fração do expoente como uma soma, teremos
Perceba que no cálculo da derivada, devemos subtrair e não somar na potência. Com isso, finalizamos a derivação desta função.