Matemática, perguntado por FabioBtista, 8 meses atrás

Questão sobre derivadas y=(1+\sqrt[3]{x} )^{3} y'=?


FabioBtista: A resposta dada pelo professor é y'= (1/x+ 1/x * raiz cúbica (x))^{2}
FabioBtista: Por favor tentem chegar nesse resultado, grato.

Soluções para a tarefa

Respondido por marcelo7197
4

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da derivada

Dada a função :

 \sf{ y~=~ \left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^3 }

Vamos usar a regra da cadeia

Perceba que, se :  \sf{ y~=~ (f(x))^k } Então:

 \sf{ y'~=k*(f(x))^{k-1}*f'(x)~,com~k\in\mathbb{R} }

Aplicando o pensamento acima podemos ter o seguinte :

 \iff \sf{ y'~=~ 3*\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^{3-1}*\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)' }

 \iff \sf{ y'~=~3*\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2 * \left( 0 +(x^{\frac{1}{3})'}\right) }

 \iff \sf{ y'~=~\cancel{3}*\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2 * \dfrac{1}{\cancel{3}}*x^{\frac{1}{3}-1} }

 \iff \sf{ y'~=~\left( 1 + \sqrt[3]{x}\right)^2 * x^{-\frac{2}{3}} }

 \iff \sf{ y'~=~ \left( 1 + \sqrt[3]{x}\right)^2 *\sqrt[3]{x^{-2}} }

Continuando com a simplificação :

\iff \sf{ y'~=~\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2 *\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} }

 \iff \sf{ y'~=~\dfrac{\left(1 + \sqrt[3]{x}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} }

Perceba que :

 \iff \sf{ \red{ \dfrac{m^2}{n^2}~=~\left( \dfrac{m}{n}\right)^2 } } Por tanto podemos ter :

\iff \sf{ y'~=~ \left( \dfrac{1 + \sqrt[3]{x} }{\sqrt[3]{x}} \right)^2 }

Separando a fracção :

 \iff \sf{ y'~=~ \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + \dfrac{ \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} \right)^2 }

\green{\iff\boxed{\boxed{\sf{ y'~=~\left(  \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1 \right)^2 } } } \sf{\longleftarrow Resposta} }

Espero ter ajudado bastante!)

Dúvidas?? Comente por favor!!)


FabioBtista: Tens um problema na resolução final, o resultado seria y'=(1+raiz cúbica de x)^{2} / (raiz cubica de x)^{2}, certo?
marcelo7197: é isso...
marcelo7197: saiu bugado aí?
FabioBtista: Agora foi arrumado, valeu.
marcelo7197: muito obrigado. caso de dúvidas é só chamar.
Respondido por SubGui
1

Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1\right)^2}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos a derivada da função y=(1+\sqrt[3]{x})^3, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Observe que esta é uma função composta f(g(x)), tal que f(x)=x^3 e g(x)=1+\sqrt[3]{x}.

Para derivarmos esta função, lembre-se que:

  • A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia, de forma que: (f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(x).
  • A derivada de uma potência é dada por: (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.
  • A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x).
  • A derivada de uma constante é igual a zero.

Dessa forma, derive ambos os lados da equação

y'=((1+\sqrt[3]{x})^3)'

Aplique a regra da cadeia

y'=(1+\sqrt[3]{x})'\cdot 3\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2

Para derivarmos a primeira expressão, aplique a regra da soma:

y'=((1)'+(\sqrt[3]{x})')\cdot 3\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2

Aplique a regra da constante e a regra da potência, lembrando que \sqrt[3]{x}={x^{\frac{1}{3}}}, teremos:

y'=\dfrac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}\cdot 3\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2

Some as frações no expoente e multiplique as frações

y'=\dfrac{1}{\not{3}}\cdot x^{\frac{1-3}{3}}\cdot \not{3}\cdot(1+\sqrt[3]{x})^2\\\\\\ y'=x^{-\frac{2}{3}}\cdot (1+\sqrt[3]{x})^2

Então, lembre-se das propriedades de potência:

  • O expoente negativo inverte a base, logo \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n.
  • A potência de uma fração por ser reescrita como a potência do numerador e do denominador, logo \left(\dfrac{b}{a}\right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}.
  • O expoente fracionário pode ser reescrito como raiz, tornando o denominador o índice da raiz e o numerador expoente (por conta da propriedade de potência de potência), ou seja: a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m.

Ficaremos com:

y'=\dfrac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\cdot (1+\sqrt[3]{x})^2\\\\\\ y'=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}\cdot (1+\sqrt[3]{x})^2

Observe que os fatores têm o mesmo expoente, logo reescrevemos de acordo com a regra de potência de fração discutida acima:

y'=\left(\dfrac{1+\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2

Separe a fração como uma soma de frações

y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}\right)^2

Simplifique a segunda fração

y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}+1\right)^2~~\checkmark

Observe que o erro do seu professor está na regra da potência.

Deduz-se isso pois o denominador x\sqrt[3]{x} é resultado da simplificação da raiz \sqrt[3]{x^4}.

Veja que ao reescrevermos esta raiz como fração, teremos

\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac{4}{3}}

Reescrevendo a fração do expoente como uma soma, teremos

x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{1\bold{+3}}{3}}\\\\\\ \HUGE{x^{\frac{1}{3}+1}}

Perceba que no cálculo da derivada, devemos subtrair e não somar 1 na potência. Com isso, finalizamos a derivação desta função.


FabioBtista: Muito bom como você conseguiu encontrar qual o possível erro na resolução dada.
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