Question

Questão sobre derivadas!
alguém consegue resolver?

Answer 1

Oi  Ferfkp :)

No enunciado foi nos dado: 

$\boxed{ \frac{dr}{dt} =10\ cm / ano} \\ \\ \boxed{ \frac{dR}{dt} =13\ cm / ano} \\ \\ \boxed{ \frac{dH}{dt} =23\ cm / ano}$

Vou reescrever a fórmula pra tentar ficar mais fácil de derivar depois:

$V= \frac{\pi H}{3}(R^2+rR+r^2) \\ \\ V= \frac{\pi HR^2+\pi HrR+\pi Hr^2}{3}$

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Derivando o volume em relação a "r" : 

$V= \frac{\pi HR^2+\pi HrR+\pi Hr^2}{3} \\ \\ \boxed{\frac{DV}{dr}= \frac{\pi HR+2\pi Hr}{3} }$
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Derivando o volume em relação a "R": 

$V= \frac{\pi HR^2+\pi HrR+\pi Hr^2}{3} \\ \\ \boxed{\frac{dV}{dR} =\frac{2\pi HR+\pi Hr}{3} }$
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Derivando o volume em relação a "H" :

$V= \frac{\pi HR^2+\pi HrR+\pi Hr^2}{3} \\ \\ \boxed{ \frac{dV}{dH}= \frac{\pi R^2+\pi rR+\pi r^2}{3}}$
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Usando a regra da cadeia: 

$\frac{dV}{dt}= \frac{dV}{dr}. \frac{dr}{dt}+ \frac{dV}{dR}. \frac{dR}{dt}+ \frac{dV}{dH}. \frac{dH}{dt} \\ \\ \frac{dV}{dt}= \frac{\pi HR+2\pi Hr}{3}. \frac{dr}{dt} +\frac{2\pi HR+\pi Hr}{3}. \frac{dR}{dt}+ \frac{\pi R^2+\pi rR+\pi r^2}{3}. \frac{dH}{dt}$

$\frac{dV}{dt}= \frac{\pi 460.90+2\pi .460.60}{3}. 10 +\frac{2\pi 460.90+\pi 460.60}{3}. 13+ \frac{\pi 90^2+\pi 60.90+\pi 60^2}{3}.23 \\ \\ \frac{dV}{dt}=1\ 011\ 592,834+1\ 502\ 937,925+411\ 862,796 \\ \\ \boxed{\frac{dV}{dt}= 2\ 926\ 393,556 \ cm^3/ ano}$

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Coloquei todas as unidades em "cm" . 
Se fosse colocar em "m" daria 2,92639355681889  m³ / ano

$\frac{dV}{dt}= \frac{\pi 4,6.0,9+2\pi .4,6.0,6}{3}. 0,1 +\frac{2\pi 4,6.0,9+\pi 4,6.0,6}{3}. 0,13+ \frac{\pi ^2+\pi 0,6.0,9+\pi 0,6^2}{3}.0, \\ \\ \frac{dV}{dt}=1, 012+1,503+0,412\\ \\ \boxed{\frac{dV}{dt}= 2,926 \ m^3/ ano}$


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Espero que goste e que tenha te ajudado. Comenta aí depois :)